第二类曲面积分的计算方法探讨

杨雯靖

【摘要】针对第二类曲面积分这一高等数学课程教学中的难点，研究了利用分面投影法、高斯公式以及两类曲面积分的联系等方法来计算第二类曲面积分，为高等数学课程中关于曲面积分概念的教学研究与改革提供一些参考.

【关键词】第二类曲面积分；投影；高斯公式

第二类曲面积分也称为对坐标的曲面积分，它的计算问题是一个综合性的微积分问题，涉及有向曲面的侧与法向量、有向曲面的投影、多元函数的偏导数、二重积分、三重积分、第一类曲面积分以及高斯公式等内容，在计算时既要考虑被积函数的特征、积分曲面及其投影区域的形状，又要注意曲面的侧，一直是高等数学教与学的难点.本文讨论第二类曲面积分的计算方法，并举例说明使用不同方法的特点，从而为高等数学课程中关于曲面积分概念的教学研究与改革提供一些参考.

一、分面投影法

分面投影法即直接将积分曲面分别投影到不同的坐标面上，从而把曲面积分转化为二重积分计

利用高斯公式计算曲面积分，必须满足高斯公式的条件.要注意有向曲面的侧，当积分曲面∑不封闭时，需补充使之成为封闭曲面.如果在Ω内有使P，Q，R的偏导数不连续的奇点，一般应先补充辅助曲面挖去奇点，然后再用高斯公式.此方法适用于组合型的曲面积分，积分曲面∑封闭，且被积函数Px+Qy+Rz的形式比较简单的情形.

三、利用两类曲面积分的联系

对于组合型的曲面积分，还可以考虑利用两类曲面积分的联系，将第二类曲面积分化为第一类曲面积分来计算，这时要注意有向曲面∑在点（x，y，z）处的法向量的方向余弦与曲面的侧的关系.如果函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在有向光滑曲面∑上连续，则

∑Pdydz+Qdzdz+Rdxdy=∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑在点（x，y，z）处的法向量的方向余弦.

解法3上例中，积分曲面∑：x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0，且取外侧，所以

四、结语

理解并掌握有向曲面的法向量、投影等概念是计算第二类曲面积分的关键.在计算时应根据被积函数和积分曲面的特點选择合适的方法.对于组合型的曲面积分，一般先考虑能否用高斯公式，或者判断能否利用两类曲面积分的联系，然后再考虑直接的投影法，这样才能掌握第二类曲面积分的计算方法.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007，6.

[2]熊明.直接化第二类曲面积分为二重积分[J].高等数学研究，2012，15（1）：73-74.

[3]郭治中.关于曲面的有界性及第二类曲面积分的教学实践[J].大学数学2014，30（2）：116-122.