利用微分的理论方法证明定积分等式和不等式

赵萨日娜

【摘要】本文给出利用微分中值定理和单调性证明定积分等式和不等式的方法.

【关键词】微分中值定理；可变上（下）限积分函数；单调性不等式

本文为吉林省教育科学“十二五”规划2014年度立项课题“民办本科院校提高高等数学教学有效性的研究与实践”的阶段性成果，批准号为：GH14662

微分和積分是高等数学最核心、最重要的两个基本概念.微分和积分是对立且互逆的，微积分基本公式把这两者完美统一地结合在了一起，成为事物的两个方面，可以互相转化.这启发我们在研究微分问题时，可以考虑用积分的理论方法加以解决，如常微分方程中有的方程就是用积分方法求解；反之，当我们研究积分问题时，可以考虑用微分的理论方法去加以解决.

本文就是在这种对立统一的辩证思维启示下，总结出利用微分的理论方法证明定积分等式和不等式的两种方法.

一、利用微分中值定理证明定积分等式和不等式

1.方法总结

微分中值定理是研究函数变化和性态的理论.用微分中值定理证明定积分等式和不等式，关键是把证明的定积分等式和不等式转化为函数形式.所以，首先根据要证明的形式设出函数，然后对所设函数用微分中值定理去讨论论证.

2.典型例题

二、利用单调性证明不等式的方法证明定积分不等式

1.方法总结

用单调性证明不等式主要是三步

（1）设函数（往往利用移项方法）；（2）求导确定单调性；（3）与端点值比较形成不等式.

用单调性证明不等式的方法证明定积分不等式，关键把要证明的形式中的定积分变易为积分上（下）限函数，按用单调性证明不等式的三步法讨论论证.

2.典型例题

评注除了可用微分中值定理和单调性证不等式的方法证明定积分等式和不等式，还常用定积分的比较原理，积分中值定理，积分中值定理，定积分的估值定理等理论方法证明定积分等式和不等式，在此笔者多述.

【参考文献】

[1]郑州轻工业学院数学与信息科学系.2011.高等数学学习指导与同步训练教程.北京.科学出版社.

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[3]徐兵.2004.高等数学大讲堂.大连.大连理工大学出版社.

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