圆的几何特征在解题中的应用

赵得凤

利用“圆”的代数与几何特点解题，把握圆的方程与几何特征;学会数形结合的解题思想。探讨利用圆的特性能够解决的几大类问题。不但充分地发挥了圆的几何优势，而且是题目易于求解。

数形结合圆的方程几何图形在解析几何中，圆占有很重要的地位，认真把握圆的方程与几何特征，利用圆的特征，解决某些问题，可以达到事半功倍的效果。

一、利用圆的几何图形来求最值

例1.设实数x，y满足x+y≥0

x2 + y2≤1 ，则z=2x+y的范围是什么？

解析：由不等式组画出可行域（如图），

z=2x+y，作出直线2x+y=0，当2x+y=0

平移至l1位置时z最小由已知得

A（-22，22），∴zmin =-22

当2x+y=0平移至l2位置时z最大，

d=z22+12=1∴z=5∴zmax =5

分析：本题应注意x2+y2≤1表示圆面（包括边界）与x+y≥0结合取公共区域为一个半圆，所以在解题时一定看清是否包含“=”。

二、利用圆的半径求值

例2.动点P（x，y）在椭圆x225+y216=1上，F为其右焦点，FM→=1，且PM→·FM→=0，则PM→的最小值为（）

解析：FM→中点M的轨迹是以F为圆心，

1为半径的圆，当动点P为椭圆右顶点时，PF最小，又P⊥F，PM→=PF→2-12，Pmin=a-c代入Pmin=（5-3）2-12=3

分析：此题抓住了FM=1的关键点，而F为定点，M为动点。所以，由圆的定义而得出结论，解题时要深刻领悟圆的“两定”。

三、利用圆的方程特征求参数范围

例3.若x的不等式1-x2≥x+t的解集为空集。则实数t的取值范围是：

解析：令y=1-x2 ①，y=x+t ② ，

由①得x2+y2=1（y≥0）表示半圆，

与②直线的位置关系如图所示，

由此可知，当t>2时1-x2≥x+t解集为φ。

分析：此题若利用1+x2≥（x+t）2讨论，问题就太繁琐了，所以解题时抓住了圆的方程特征，数形结合，减少了计算量。

四、利用圆与距离的关系解题

例4.已知f（x）是奇函数且是R上的增函数，若f（x2-2x）≤f（y2-2y）（x，y∈R），则x2+y2的最大值是（ ）

A.3B.22 C.8 D.12

解析：由函数的奇偶性、单调性得：x2-2x≤y2-2y，即（x-1）2+（y-1）2≤2，表示圆心C（1，1）半径为2的圆面，而x2+y2看做圆C上的点与原点距离的平方，圆上最远处为直径。所以（x2+y2）max=OP2=（22）2=8

分析：此题要看清Z=x2+y2表示圆面（包括边界）与原点距离的平方，而不能看作圆。

五、把代数问题划归成与圆有关问题解决

例5.在ΔABC中，已知AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（ ）

A.0

解析：如图所示AB=1，BC=2， A在以B为圆心，半径为1的圆上（与B、C不共线），当直线AC⊥BA时，角C最大是π6，

所以C∈（0，π6]

例6.ΔABC中，若AB=2，AC=2BC，求面积SΔABC最大值。

解析：如图，建立直角坐标系，设C（x ， y）AC=2BC，

所以，（x+1）2+y2=2（x-1）2+2y2

整理得：（x-3）2+y2=8（y≠0）

C点轨迹是以（3，0）为圆心，半径为的圆（除去与x轴交点），AB为定值2，所以C在C1与C2位置时SΔABC最大，最大值为12×2×22=22。

分析：这两题是将解三角形问题与圆有机结合起来，从而使解觉方法更为简单化，平时要注意各知识点间的彼此联系。

参考文献：

[1]《圆的方程》必修二.

[2]中学数学教学参考.