浅谈充分“挖掘”习题的教育价值

张志仁

以《平面解析几何》抛物线习题为例，进行“挖潜”与“变式探讨”，用以说明深挖习题训练功能的巨大教育价值。

习题挖潜变式探讨用好一些典型例习题，研究其内涵与解法，充分“挖潜”与“变式探讨”，并力求“举一反三，推陈出新”，对培养学生发散思维与创新能力，对掌握一类问题知识间的内在联系与灵活应用，具有极好的数学教育价值与训练功能。

现以《平面解析几何》抛物线习题为例，进行“挖潜”与“变式探讨”，用以说明深挖习题训练功能的巨大教育价值。

题：过抛物y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2。求证：y1y2=-p2

证明：设过F（p2，0）的直线AB：y=k（x-p2）（k≠0）

代入y2=2px得：

ky2-2py-kp2=0

∴y1y2=-kp2k=-p2

将上题中结论进行推广得：

变题1：过抛物y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的横坐标为x1、x2。

求证：x1x2=p24

证明：由上题结论知：y1y2=-p2

又∵ x1=y212p x2=y222p

∴x1x2=（y1y2）24p2=p44p2=p24

进一步，由特殊到一般，将过焦点推广到过对称轴上任一点，使问题得到深化得：

变题2：过抛物线y2=2px的对称轴上一点M（a，0）的一条直线和这条抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）， 则 x1x2=a2，y1y2=-2pa。

证明：只需将AB设为y=k（x-a）同上可证得结论。

再进一步，利用以上结论可解：

例1：求证：抛物线的通径是经过焦点的所有弦中的最短线段。

证明：设抛物线方程为y2=2px，（p>0）

焦点弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2）

|AB|=x1+x2+p≥2x1x2+p=2p

当且仅当x1=x2=p2时，AB 垂直于x轴，即AB为通径。

例2：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q。过P点和抛物线顶点的直线交准线于M点。求证MQ平行于抛物线的对称轴。

证明：设抛物线方程为y2=2px 点P、Q、M 的纵坐标为y1、y2、y3，由上题结论知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又∵PM的方程为：y=y1x1x

准线方程为： x=-p2

∴y3=-py12x1 而2x1=y21p

∴y3=-p2y1 即y2=y3

∴MQ 平行于抛物线的对称轴。

例3：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在其准线上，且BC平行于x轴。

求证：AC过原点O。

证明：设A（x1，y1）， B（x2，y2）

由上题结论知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又BC平行x轴，且点C在准线x=-p2上

得C（-P2，y2）

∴kOC=y2-p2=-p2y1-p2=2py1=y1x1

又∵kOA=y1x1

∴AC过原点O。

通过以上的推广，充分展示了典型习题的“挖潜”价值，使典型习题真正成为学生领悟数学思想方法和培养创新能力的“源头活水”，使学习可以收到事半功倍的功效。