基于B—S模型的上证50ETF期权定价研究

董安琪 陈元

摘要：ETF（交易型的开放式指数基金），可以在交易所内上市进行交易并且基金的份额是可变的，在开放式的基金中是一种极其特殊的基金。ETF的优点是它结合了俩大类基金——封闭式和开放式的运作特点：第一、交易成本低；第二、當天可以套利；第三、具有高透明性。本文以上证50ETF为研究的对象，通过对模型中的参数进行分析来分析期权的基本信息。以Excel、MATLAB为工具，利用历史波动率来估计标的资产收益率的波动率，代入B-S模型中对期权进行定价计算，并将计算出的结果与期权的市场价格进行对比，分析定价误差（真实市场价格与B-S模型价格差）产生的可能原因。

关键词：上证50ETF；B-S模型；期权定价

一、引言

在1970年至1980年，期权在美国率先出现。期权是在未来的一定时期内可以进行买卖的权利。它是由期货延伸而发展出来的具有衍生性质的金融工具，是金融领域的创新型工具，因期权的有效防范风险和投机性而迅速席卷市场，引领金融领域新兴产业的发展。期权在其本质上是可以对权利进行定价的工具。根据期权所赋予的买者的权利，可以将期权区分为看涨期权和看空期权——看涨期权所赋予的是购买标的资产的权利的，相对而言看跌期权所赋予的是卖出的权利。在1973年，首个期权的定价模型建立，它将证券的组合通过建立一个期权与其标的资产的组合来进行对冲，并且在均衡时，满足无风险的利率，从这点看来它与无套利的定价思想是一致的。从B-S模型的推导中，我们可以得出期权的定价的本质实际上就是无套利的定价。由此得知，在满足无套利时，证券的组合是可以复制期权的。因为中国经济的迅猛发展和资本市场的快速增长，指数化的投资具有突出的优势——低成本和低风险。而上证50ETF，目前在中国的市场中最具代表的标的指数之一，是中国境内的第一只ETF的跟踪标的。本文以上证50ETF为例，通过B-S模型，对50ETF的定价进行了研究。

二、模型的建立

模型以无套利为基础，在推导的过程中使用了偏微分方程。B-S式中最关键的有五个变量：标的资产价格S、执行价格X、T时刻到期的无风险利率r、现在时刻t和 波动率σ。

运用B-S模型有七个假设前提：

①证券价格遵循几何布朗运动

②允许卖空标的证券

③没有交易费用和税收，所有的证券都是完全可分的

④在衍生证券的有效期内，标的证券没有现金的收益支付

⑤不存在无风险套利机会

⑥证券的交易是连续的，价格的变动也是连续的

⑦在衍生证券的有效期中，无风险利率是常数

设S遵循了几何维纳过程，则：dS=μSdt+σSdz（1-1）

在较短的时间间隔△t中，△S为：△S=μS△t+σS△z（1-2）

设变量f是与S有关的看涨期权或者其他衍生产品的价格。变量f必须是S和t的函数。得到：

三、数据处理及实证研究

1.期权的基本信息（看涨）当期price=31480，距到期日为8天。

行权价到期日2.752015-6-24（8天）

2.22015-6-24（8天）2.82015-6-24（8天）

2.252015-6-24（8天）2.852015-6-24（8天）

2.32015-6-24（8天）2.92015-6-24（8天）

2.352015-6-24（8天）2.952015-6-24（8天）

2.42015-6-24（8天）32015-6-24（8天）

2.452015-6-24（8天）3.12015-6-24（8天）

2.52015-6-24（8天）3.22015-6-24（8天）

2.552015-6-24（8天）3.32015-6-24（8天）

2.62015-6-24（8天）3.42015-6-24（8天）

2.652015-6-24（8天）3.52015-6-24（8天）

2.72015-6-24（8天）3.62015-6-24（8天）

Shibor 期限Shibor 利率

隔夜期限3.52800

1周期限4.63900

2周期限5.57900

1个月期限5.58800

3个月期限5.13510

6个月期限4.74420

9个月期限4.62000

1年期限4.73040

利用历史波动率的方法来估计标的资产的收益率的波动率，波动率部分数据如下，数据来源于wind资讯。

日期开盘价（元）2015-05-283.285

2015-05-153.0732015-05-293.081

2015-05-182.982015-06-013.066

2015-05-192.9462015-06-023.194

2015-05-203.0842015-06-033.205

2015-05-213.0892015-06-043.191

2015-05-223.1392015-06-053.34

2015-05-253.2372015-06-083.28

2015-05-263.3282015-06-093.459

2015-05-273.3342015-06-103.316

由价格数据取比值的对数得到收益率序列，再根据收益率序列利用excel中STDEV函数得到波动率，为0.019386009。

2.B-S模型计算期权理论价格

blsprice函数：[Call，Put] = blsprice（Price，Strike，Rate，Time，Volatility）

输入数据，得到下表：

行权价到期日callput2752015-6-24（8天）066390

222015-6-24（8天）116070282015-6-24（8天）061870

2252015-6-24（8天）1115502852015-6-24（8天）057350

232015-6-24（8天）107040292015-6-24（8天）052840

2352015-6-24（8天）1025202952015-6-24（8天）048320

242015-6-24（8天）098032015-6-24（8天）04380

2452015-6-24（8天）093490312015-6-24（8天）034770

252015-6-24（8天）088970322015-6-24（8天）02574643E-198

2552015-6-24（8天）084450332015-6-24（8天）0167417E-84

262015-6-24（8天）079940342015-6-24（8天）00767420E-21

2652015-6-24（8天）075420352015-6-24（8天）262E-0400139

272015-6-24（8天）07090362015-6-24（8天）416E-330104

分析定价误差（真实市场价格与B-S模型价格差）及产生的可能原因。从财经类的网站中找出上述期权的真实价格，并作与用B-S模型求出的价格的差。结果如下：

真实的市场价格B-S模型的价格差值真实市场的价格B-S模型的价格差值

094881160702119034710618702716

09125111550203031320573502603

08654107040205026020528402682

083811025201871020760483202756

076470980215301657043802723

06992093490235701050347702427

064460889702451006210257401953

05992084450245300356016701314

054890799402505002130076700554

0495407542025880013262E-04-001274

044630709026270009416E-33-0009

039910663902648

由表格中的數据可以看出通过B-S模型对到期日较为接近的期权估价存在比较大的误差，下面对此进行具体分析。应用B-S模型来定价有七个假设，而在这七个假设中，有些假设在真实的市场中是无法实现的，它过于苛刻，因而影响了B-S模型计算得到价格的可靠程度，具体的原因分为以下几个方面：

1）对股价分布的假设。对于该模型来说，最为核心的假设是：股票的价格的波动必须满足布朗运动，由布朗运动可知分布是满足对数正态的，并且也是一个连续性的随机过程。而实际中股票的价格的变动却不仅仅包括对数正态分布，也包括其他分布。

2）关于连续交易的假设。根据模型定价的假设条件可知：投资者是可以通过调整期权和股票之间的头寸来得到具有无风险资产的组合的，但是这在实际中却受到了多种条件的限制，如下：

①无法以相同的无风险的利率借入或者贷出资金

②股票的可分性会受到具体的情况的制约，并不是完全可分的

③调整将会增加交易的成本

因而在实际中，投资者的风险偏好必定会影响到期权的价格。

3）股票的价格离散度不变的假设。在实际中，如果股票的价格的上升，通常来说会导致股票价格的方差下降，并不能保证其离散度的不变。

4）不考虑交易费用和税收的假设。在实际的交易中，一定是存在交易费用的，并且股息的派发的时间的不同和其数额的不同均会对期权的价格产生实质上的影响。我们应将这些因素加以考察，对模型进行适度的调整，使股息对期权价格的影响得以反映出来。具体来说：

若是欧洲买方期权，调整方法为：用股票的价格减去股息d得到的值来代替原先的股价，代入模型中，求出期权价格。

若是美国买方期权：

1.将股票价格减去d的替代原先的股价，代入B-S模型中，得到的是不提前执行情况下的价格。

2.除息日前执行。用调整后的股价代替实际的股价，距离除息日的时间代替有效的期限？股息经调整后的执行价格x-d来代替实际的执行价格，同时将无风险的利率和股价的离散度等代入模型中。

3.取在上述两种情况下的较大值作为期权的均衡价格，但是在支付股息的情况较为繁复时，调整的难度很大，不在本文的讨论范围内。（作者单位：安徽财经大学金融工程系）

参考文献：

[1]John C.Hull.OPTIONS，FUTURES AND OTHER DERIVATIVES（8 th Edition）.机械工业出版社.2011

[2]黄本尧.Black-Scholes期权定价模型的精确性及适用性分析[J].财贸研究.2002（06）

[3]丁忠明，黄华继.《证券投资学》第二版.高等教育出版社.2013