浅谈函数思想在高中解题当中的应用

李正章

在高中数学的教学过程当中，教师的教学重点已经不仅仅是一个个零散且具体的知识点了，而是要开始包含宏观角度的数学思想方法. 这是能够普遍适用于各种问题解答当中的有效工具，更是高中数学学习的精髓之处. 细数高中数学当中的各种思想方法，不得不提到函数思想. 对于函数思想，很多学生对之还存在着一定的误读，将函数思想与函数知识本身混淆在一起，认为函数思想就是函数本身，只能在解答函数问题时进行应用. 实际上，函数的思想方法在各类数学问题的解答当中，都是可以广泛使用的，并能够使很多解题过程大大简化. 因此，我们有必要将函数思想的应用方式向学生们进行一个专题式的剖析.

一、巧妙解不等式

不等问题是各种高中数学测验中的常客. 虽然大多数题目的难度不是很大，但是，如果没有一个巧妙的解题方法，往往会造成解答过程复杂冗长，不仅浪费解题时间，更容易出现过程错误. 因此，将函数思想运用于不等问题的解答当中十分必要.

例如，曾经有这样一个不等证明问题难住了一大批学生：已知，a，b∈R，求证： ≤ . 猛地看来，这个题目当中的求证内容十分复杂，让人摸不到头脑，更不要说在不等关系之下进行灵活变换了. 但如果能够运用函数的思想来看待这个问题，解决起来就容易很多了. 在这个题目中，我们可以构造一个新的函数f（x），使f（x） = . 这样一来，就可以从函数的单调性入手出现不等关系了. 不难发现，f（x）是（-1，+∞）上的单调递增函数，由0 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|也就可以得出，f（|a + b|） ≤ f（|a| + |b|）， ≤ 的结论也就不难得出了. 学生们发现，原本十分繁琐的不等问题，在函数思想的辅助之下，一下子简洁了很多，这样的解题过程，甚至让很多学生感到很震惊，也对于函数思想的运用效果感受深刻.

在不等问题解答过程中运用函数思想，使得不等问题的解答思路更加清晰了，解题速度也提升了不少. 这表明，函数思想在不等问题当中的融入，还是比较合理的.

二、重视函数变化

数列问题是令很多学生感到头疼的部分，数列内容当中的公式定理并不算多，但其变化却是相当灵活的，非常容易出活题，出难题. 这也是学生最难以掌握的，我们有必要将函数思想引入到数列问题的解答当中来.

例如，曾经出现过这样一道比较典型的数列习题：已知，{an}是一个等差数列，其前n项和为Sn. 若a3=12，S12 > 0，S13 < 0，那么，该数列公差d的取值范围是什么？并确定S1，S2，S3，…，S12当中，哪一个的值是最大的. 第一问的解答难度并不大，只要按照数列公式按部就班进行计算就可以了. 第二问中则出现了不同的解答方法. 其中，让学生感到最为巧妙的方法当属数列与函数的结合. 我们无需从数列的角度进行太多的思考，只需将Sn以na1 + 的形式进行化简变形，不断向着函数最值研究的方向靠拢，最终能够得到2的表达式. 根据第一问已经求得的- < d < -3的结论可知，n取得最小值的时候，Sn取得最大值. 由此，从d的取值范围得出n的取值也就很容易了. 这种函数方法的引用，明显简化了思维过程，减轻了学生的思考负担.

以前，学生在面对复杂的数列问题时，只能围绕着几个公式打转，局限性很大. 加入了函数思想之后，学生的思维路径被大大拓宽了. 在这个工具的辅助之下，原本抽象复杂的数列问题都迎刃而解了.

三、推进数形结合

立体几何，从字面上来看，似乎是一个纯粹的图形问题. 但是，稍加学习便会发现，立体几何问题当中也经常会关联到代数问题. 很多数量关系的计算，如果只是依靠几何方法，思维过程会十分复杂，如果能够将函数思想融入其中，解答效果就完全不同了.

例如，在立体几何教学过程中出现过这样一个问题：现有一个圆锥体，其底面半径是1，高是3. 那么，该圆锥体的内接圆柱的全面积之最大值是多少. 在立体几何当中出现最值问题时，学生们应当立即反应出函数思想求解的思维方向. 题目所求可以通过右图方式表示出来，并设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，圆柱体的轴截面为△ABC. 那么，在由■ = ■得出h = 3 - 3r的结论之后，就可以将S表示为2πr2 + 2πrh，并变形成为方便进行最值研究的形式，即-4πr - ■2 + ■，由此，其最大值■也就呼之欲出了. 也就是说，当r取得■时，圆柱体的全面积达到最大值■. 这道题本身的难度并不大，但它的函数思维过程却给学生以很大启发. 今后再遇到立体几何中出现最值求解形式的问题时，学生便能够第一时间选择函数思想进行高效解答了. 在立体几何的教学过程当中，我们常常要求学生要建立起数形结合的意识. 那么，当图形位置关系被成功转化为具体数量之间的关系时，又应当如何对之进行处理呢？这就是函数思想作用的体现之处，实现了灵活全面的数形结合，才能说是将立体几何学习到位了.

通过上述方式的教学，学生对于函数思想形成了一个全新的完整认识. 大家发现，原来函数思想在高中数学解题当中的适用范围如此之广，只要能够把握住函数思想运用的关键，建立起其与待解决的数学问题之间的联系，函数思想往往能够成为快速、准确解答问题的有力武器. 本文当中所列举的知识函数思想是实际应用情况中的一小部分，它在方程问题、向量问题、三角问题等方面的帮助同样很大，函数思想值得教师在高中数学教学过程中深入分析并重点推广.