关于多件独立事件发生的件数的数学期望的探究

赵梓涵

【摘要】 对多件独立事件的发生件数的数学期望进行了研究，通过例题提出了猜想并最终通过数学推导形成了结论公式.

【关键词】多件独立事件;数学期望;公式;数学归纳法

一、问题引出

例1 甲、乙、丙三人射击，射中靶子的概率分别是12，13，23（相互独立），求射中靶子的人数的数学期望.

解 记x为射中靶子的人数.

易发现1.5=12+1/3+2/3.这究竟是一个巧合还是一个规律呢，那么，我们再来看一个例子：

例2：甲、乙两个工人生产零件是优等品的概率分别是12，14（相互独立），求甲、乙各生产一个零件，优等品件数的数学期望.

解：记x为优等品件数.

P（x=1）=12;P（x=2）=18;

所以E（x）=1×P（x=1）+2P（x=2）=58.

易发现58=12+14.由上述两例可猜想多次独立事件发生件数的数学期望的值为各个事件发生概率之和.下面笔者就此问题展开论证.

二、数学证明（注：以下不加说明时，x为发生事件个数）

由于事件个数及事件发生概率未知，所以不妨设有n件独立事件且每件事件发生概率分别为P1，P2，P3，…，Pn.鉴于n可变化，不妨用数学归纳法来证明这个结论.

首先对于n=1的情况显然E（x）=P1结论成立.

假设n=k的情况下结论成立，

即E（x）=∑ki=0[i·P（x=i）]=∑ki=1pi.

对于n=k+1的情况：为方便分析，我们可令P_k+2=a.

这时易得：

所以对于n=k+1结论成立，

又因为n=1时结论成立，所以对于n∈R，

E（x）=∑ni=1Pi.

至此，猜想被证明不是巧合而是正确的，

三、问题应用

首先，当所有事件发生概率相同，都为p时，即n次独立重复事件，此时E（x）=np.可见数学课本上对于n次独立重复事件的数学期望求解公式为上述公式的一个特殊情况.

其次，该公式相当于n次独立重复事件的数学期望求解公式的一个推广，可以解决生产生活中n次独立重复事件的数学期望求解公式不能解决的一系列问题.

此外，还可以对多次独立事件发生件数的概率及方差的研究提供帮助.