浅谈换元积分法的应用

兰华龙

【摘要】本文从学生的认知能力出发，拓展基本积分公式的作用，采用等价变形、转化等方法，力求解决换元积分中如何换元问题，以此揭示求解不定积分的解题思想方法.

【关键词】不定积分;公式拓展;转化;数学方法

大多数学生在中学时就非常熟悉换元法，它是解答相关问题的常用数学方法，换元积分法是高等数学教学中的一个重点，也是教学中的一个难点.较多的学生感到不容易掌握换元积分公式的应用，原因是把握不好怎样换元，为此，我在教学实践中做了以下尝试：

一、引导学生对基本积分公式的再认识，拓展基本积分公式的应用

传统的教学方法是先介绍换元积分公式，再运用公式求积分

设∫f（u）du=F（u）+C且u=φ（x）可导，则有

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=∫f（u）du=[F（u）+C]=F（φ（x））+C.

问题是怎样将∫g（x）dx 化为∫f[φ（x）]φ′（x）dx形式，学生往往感到困惑. 如果从学生已经熟悉的知识出发，进一步挖掘基本积分公式的作用，其实教材中16个基本积分公式就是16类换元积分公式，对此学生的反映是：目标明确，易于操作.

例如 介绍公式∫1udu=lnu+C时 指出这里u=x成立，当u是x的函数，

即u=φ（x）时∫1φ（x）dφ（x）=lnφ（x）+C也成立

于是有 ∫12x+1d2x+1=ln2x+1+C;

∫1sinxdsinx=lnsinx+C……

二、发挥等价变形在换元积分中的作用，解决好如何换元问题

如何将一个不定积分形式转化为基本积分公式类型是解决换元积分问题的关键.下面以求两个例题的不同解法说明.

例1 求∫11+cosxdx.

解法1（应用三角函数公式合项、凑微分）

∫11+cosxdx=∫11+2cos2x2-1dx=∫12cos2x2dx

=12∫sec2x2dx=∫sec2x2dx2=tanx2+C.

解法2（分子分母同乘、拆项、凑微分）

∫11+cosxdx=∫1-cosx1-cos2xdx=∫1-cosxsin2xdx

=∫1sin2xdx-∫cosxsin2xdx=∫csc2xdx-∫1sin2xdsinx

=-cotx+1sinx+C.

解法3（利用万能公式）

设t=tanx2，则 sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

于是1+cosx=1+1-t21+t2=21+t2.

所以∫11+cosxdx=∫1+t22·21+t2dt=∫dt =t+C=tanx2+C.

解法4（添项、凑微分）

∫11+cosxdx=∫1-sinx1+cosxdx+∫sinx1+cosxdx

=∫1-sinx1-cosx1-cos2xdx+∫sinx1-cosxdx

=∫1-sinx-cosx+sinxcosxsin2xdx-∫11+cosxd1+cosx

=-cotx-lncscx-cotx+1sinx+lnsinx-ln|1+cosx|+C.

例2 求 ∫1xx2-1dx（x>1）.

解法1（三角代换）设x=sect，0

∫1xx2-1dx=∫1secttantsecttantdt=∫dt=t+c=arccos1x+C.

解法2（第二换元法） 设x2-1=t x=t2-1 ，则dx=1t2-1dt.

∫1xx2-1dx=∫1t2+1.t.tt2+1dt=∫dtt2+1=arctant+C =arctanx2-1+C.

解法3（倒数变换、凑微分）设x=1t，则dx=-1t2dt.

∫1xx2-1dx=∫11t1t2-1-1t2dt=∫-11-t2dt =-arcsint+c=-arcsin1x+C.

通过教学示范，让学生逐步认识到利用换元积分法求积分，重要的是要善于观察已给积分的形式，应用相关变形、代换转化为某个基本积分公式类型求解.