坐标系中求面积

宋爱华

在平面直角坐标系中求三角形的面积，需要根据三角形中各顶点的坐标确定底边长和高，进而求出三角形的面积.而对于四边形、五边形等，往往需要借助三角形来求面积.

例1 如图1，△ABC的三个顶点分别是A（2，3），B（4，0），C（-2，0），求△ABC的面积.

解析：观察图形可知，BC边在X轴上，且BC边的长易求.要求△ABC的面积，还应确定BC边上的高.根据点A（2，3）可知，BC边上的高是3.

Bc=|4-（-2）|=6，所以S△ABC=1/2×6×3=9.

点评：当三角形有一条边在坐标轴上时，则以这条边为底边，其长度等于这条边上的两个顶点的横（纵）坐标之差的绝对值，这条边上的高等于另一个顶点的纵（横）坐标的绝对值.

例2 如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，-2），B（0，3），C（-3，2），求△ABC的面积.

解析：只有AC边的长容易求得，所以先求出AC边的长，再找到AC边上的高.

如图2，作AC边上的高BD.

根据点A（-3，-2），C（-3，2），可求得AC=|2-（-2）|=4，BD：|-3|=3，所以S△ABC×4×3=6.

点评：当三角形有一条边与坐标轴平行时，则以这条边为底边，其长度等于这条边上的两个顶点的横坐标之差的绝对值（平行于X轴时）或纵坐标之差的绝对值（平行于y轴时），这条边上的高等于另一个顶点到这条边所在的直线的距离.

例3 如图3，△ABC的三个顶点分别是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求△ABC的面积.

解析：参照图3作辅助线，则四边形ADEC是直角梯形.

根据点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），可求得AD=4，CE=6，DB=4，BE=1，DE=5，所以S△ABC=1/2（AD+CE）·DE-1/2AD·DB-1/2CE·BE=1/2×（4+6）×5-1/2×4×4-1/2×6×1=14.

点评：当三角形的三条边都不与坐标轴平行时，可过三角形的顶点作与坐标轴平行的直线，将三角形的面积转化为直角梯形或长方形与直角三角形的面积之差的形式.

例4 如图4，四边形ABCD的四个顶点分别是A（4，2），B（4，-2），C（0，-4），D（0，1），求四边形ABCD的面积.

解析：参照图4作辅助线，则四边形ABCE是直角梯形.

AB=|2-（-2）|=4，CE=|2-（-4）|=6，DE=1，AE=4，S四边形ABCD=1/2（AB+CE）·AE-1/2DE=1/2×（4+6）×4-1/2×1×4=18.

点评：求一般四边形的面积时，可将一般四边形的面积转化为特殊四边形（如直角梯形）与特殊三角形（如直角三角形）的面积之和或面积之差的形式.