k元线性变换矩阵的研究

陈瑶 耿姝 朱佳梅

摘 要：随着科技的发展，线性变换是高等代数研究的一个主要对象，也在数字信号处理领域里有着广泛应用，如，DFT、DCT、WT等。在数字信号处理中，对解决数据的变换、量化过程中的误差失真等具有重要的作用，非常适用于无真的数据处理，如，语音或图像的无损压缩。可见，线性变换的矩阵在电子信息领域有着广阔的发展前景和重要的科学研究价值。该文主要研究元线性变换的矩阵表示，给出元线性变换、重矩阵的定义，导出元线性变换在一个基上的矩阵表示的定理并予以证明，最后结合线性变换的矩阵表示方法和性质指出其在高等代数学和在电子信息领域中的应用。

关键词：线性变换  向量空间  矩阵  矩阵的迹  重矩阵

中图分类号：O151         文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0244-03

线性变换是代数学的重要理论，线性变换的矩阵给维向量空间的线性变换以具体刻划，使线性变换的运算转化为矩阵的运算。反之，也把矩阵问题转化为线性变换来处理，二者是同一事物的两种表现形式。维向量空间的线性变换的全体构成的向量空间与数域上阶矩阵全体构成的向量空间同构，将向量空间的问题转换为矩阵的问题来处理是代数学的重要理论。数字信号处理中，原始数据是整型数据，而线性变换的变换系数通常是实数或复数，变换结果要量化为整型数据。在这过程中通常会产生误差，且误差会破坏变换的可逆性，因而不能保证使数据无失真恢复。针对这一问题，很多科学家进行了研究，其基本思想是分析线性变换的变换矩阵，将满足条件的变换矩阵进行分解，使其能用一系列基本的整型可逆变换矩阵的乘积来表示，这样就可以根据该线性变换构造一个与其性能相似且整型可逆线性变换理论分析及试验结果表明，可逆线性变换的整型化会使变换后的数据的动态范围最小[1]，非常适合于无真的数据处理。可见，线性变换的矩阵在电子信息领域有着广阔的研究前景。

1 元线性变换的矩阵定义

定义1.1 设为维向量空间，是上的任意一组基，又设一变换，对于任意给定的的个向量，有

，其中为常数，.称为上的元线性变换[2].

注：在某一组基下的元线性变换用表示。

定义1.2 设与是从个数中重复选取个数的两个排列，如果存在：，使得，…，，，则称小于。

从个数中重复选取个数的所有排列共有个，由定义对它们从小到大排序.由上述进行的个序组，来定义基排序。

定义1.3 设是数域上的维向量空间，是的一组基，是分别从中重复选取的个向量，若序组小于，那么则称基序组小于基序组。

定义1.4 设是数域上的维向量空间，是的一组基，是的一个元线性变换，若任意一个基序组的像在基下的矩阵为，即

;

将作用在所有的基序组上，按定义1.3从小到大顺序分别将所对应的矩阵按列方向排列，所组成的阶矩阵，叫做元线性变换在基下的矩阵：

当时，与一元线性变换的矩阵相一致。

2 元线性变换的矩阵表示

首先给出重矩阵的定义：

定义2.1 设向量是中的任一向量，有

，

'为在基下坐标，

那么称 的一阶重矩阵;

二阶重矩阵;

的重矩阵;

下面给出元线性变换在基下具体的矩阵表示。

定理：设为维向量空间，是上的任意一組基，是上的元线性变换，对任意给定上的个向量，有：

，;

定理证明：应用数学归纳法。

当时，即是一元线性变换。

设线性变换在基下的矩阵为，则

任意一个向量都有

;

其中为向量在基下的坐标，所以

结论显然成立，且一元线性变换在基下的矩阵，

当时，设向量和，因为

，

，

则

其中，'为向量在基上的坐标，。

设，，则

现假定时成立，即

下面证明时也成立，由定义知

所以由假设

其中为阶矩阵，，那么

……

。

定理成立，当，即

;

则元线性变换在基下的矩阵为。

3 线性变换矩阵的应用

线性变换的矩阵不仅在电子信息领域具有重要的作用，在代数学方面也应用广泛，例如：求线性变换迹，由已知矩阵求线性变换，已知线性变换的矩阵求基的方法等。可见，线性变换的矩阵在科技领域有着广阔的发展前景。

4 结语

研究元线性变换的矩阵表示，给出元线性变换和重矩阵的定义，进一步导出元线性变换矩阵的具体表示，通过对定理的证明，验证结论是具有一定意义的，最后结合线性变换的矩阵的表示方法和性质指出线性变换的矩阵在高等代数学和在电子信息领域上的应用。

参考文献

[1] Blvd.W.Montreal.Journal of computer science and technology[J].Quebec，1997.

[2] 张强.元线性变换的矩阵表示[J].工科数学，1997，13（4）：128-132.

[3] 张禾瑞，郝炳心.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1997：264-275.

[4] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000：238-245.

[5] David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications[J].John Smith，1989.