一道期末试题的多种解法

曾翠华

新人教版《数学》八（下）期末考试，主要考查一次函数、勾股定理、平行四边形等知识.我区教研室拟定的期末试卷第25题，要求证明一个角为90°，此题给了学生多角度的思维空间，既充分考查了学生对现有知识的掌握程度，又考查了学生对知识的综合应用能力，有一定的区分度.学生在解答过程中，有近二十余种不同的解，其解题策略有多种，具体阐述如下：

原题 如图，直线y=-12x+52交直线y=kx （k>0）于B，平行于y轴的直线x=7分别交这两条直线于C，A两点，且AC=15，求∠OBC的度数.

分析 如图1，由C为直线y=-12x+52与直线x=7的交点知C（7，-1），于是CD=1，又AC=15，∴AD=14.

由A（7，14）在直线y=kx （k>0）上，∴k=2，可以得到B（1，2）.

具体求∠OBC度数为90°的解题策略大致为以下四种：

策略一：运用勾股定理的逆定理证明结论

证法（1）：图1中，设BC交x轴于P，由P（5，0）知OP=5，作BH⊥x轴于H，∴OH=1，BH=2，于是HP=4，又OB=5，BP=25.

策略二：运用定理“直角三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这是个直角三角形”

证法（4）：如图1，取OP中点G，连OG，∴G（2.5，0），

证法（5）：如图1，取AC中点G1，证AG1=BG1=CG1，得∠OBC=90°.

在短暂且紧张的考试条件下，能够及时、准确地应用平行四边形中的相关定理，说明这部分同学对平行四边形的知识掌握得全面、灵活.

策略三：利用“同一法”证明结论

证法（6）：如图1，作OF⊥直线BC于F，设BC交y轴于M，M（0，2.5），

∴OM=2.5，MP=525.由MO·OP=MP·OF，有2.5×5=525·OF，∴OF=5.

于是OB=OF，由B，F都在直线MC上，所以B，F重合，于是∠OBC=90°.

此法简洁，“面积法”与“同一法”有机结合，反映出学生思维多样有深度.

策略四：利用寻找或构造全等三角形的方法证明结论

无论是哪一种证法，都展示了学生们思维的火花，更体现了教师在平时教学中，注重对学生思维的训练，注重知识的延伸与拓广，这些经验、方法，值得每一位从教者学习与借鉴.