等腰三角形一个重要结论的证明与应用

李修权

【摘要】教师在初中数学教学活动中，引导学生积极主动探索定理的证明和应用，是一个非常重要的教学过程.文章从一个等腰三角形的结论出发，引导学生达到积极主动探索、合作交流，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、动手操作、自主探索等方面得到进步与发展的教学目标.

【关键词】初中数学；重要结论；证明与应用；教学心得

数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人.教师的职责是激发学生的学习潜能，引导学生积极主动探索、合作交流，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、动手操作、自主探索等方面得到进步与发展.

基于这一点，我们从一个等腰三角形的结论出发，让学生在探索证明和应用的过程中，以达到上述目标.

一个结论：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

如图，等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC上任一点（不包括端点B，C）.过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，过B作BD⊥AC于D.求证：BD=PE+PF.

三种证明：利用面积分割法或利用截长法或补短法求解.

解法一（面积分割法）：

解法三（补短法）：类似于截长法，运用全等三角形和矩形的相关学生可自行解决.

以上三种证明方法，展现出很多知识点和解题思想：面积不变性证明恒等式，添加辅助线的方法，构造并证明全等三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等等.通过此证明，开拓学生多方思路，巩固已学知识点，培养学生的发散思维和探索品质.

实战应用

1.矩形中的应用：

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为.

解析 由上述结论可知PE+PF就等于等腰△ABD中BD边上的高h，由1[]2AB·AD=1[]2·BD·h，得h=2.4.

2.正方形中的应用：

正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，A E=AD，P为BE上任一点（不与点B，E重合），PM⊥ AC于M，PN ⊥ AB于N，则PM+PN与AC有怎样的数量关系？

解析 过B作BO ⊥AC于O，由上述结论可知，等腰三角形ABE中，PM+PN=BO，而BO=1[]2AC，所以PM+PN=1[]2AC.

应用心得：上面两个题的解决，很大程度上得益于我们给出的结论，虽然图形有变化，但是，问题的本质、原型没有改变.所以我们应善于总结归纳，把数学知识点的一些联系和规律归纳出来，在学习上必能起到事半功倍的效果.

【参考文献】

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[3]高俊元.解直角三角形中常见的数学思想方法[J].初中数学教与学，2006（6）.