谈2012年全国卷（理二）第22题的解答

张兵

题目（2012年全国卷（二）第22题）：

函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：

x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：2≤xn

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.

原解答首先用数学归纳法证明（Ⅰ）中不等式，然后通过构造新数列bn=xn-3得到一个等比数列从而求出了通项公式.笔者经过思考，认为既然题目要求出通项公式，那么就没有必要用数学归纳法证明（Ⅰ）中的不等式了，直接对通项公式证明不等式应当更直截了当.另外，原解答中为什么要令bn=xn+3，无法向学生解释清楚.文献用特征根的方法进行完整的论证，讲清了bn=xn+3的来历，问题是面对这种求通项公式的问题，只有用特征根法才能讲清楚吗？

笔者在做此题时，一个想法是将递推公式逐步化简再进行代换.

完全没有必要用数学归纳法.

这个方法可以说自然流畅，水到渠成，没有任何难解之处，其中最漂亮的一步是

yn+1=6-5yn中将6改写成5+1，从而得到yn+1-1=51-1yn.这个方法也不是无源之水，它来自于下面一题：

再作代换，等等.比较一下，会发现这两题本质是相同的.一套战术组合看似复杂，其实每一步都是必然的，毫无技巧可言.相信经过高三综合训练的同学都会做这道题，那么在做上面一题时应当能产生联想.调动已有的知识储备，使解题变得简单、自然、顺畅，这是一种解题智慧.

【参考文献】

沿廷武.巧设特征方程，妙解数列通项[J].数学通讯，2012年第11，12期（上半月）.