用解析法解决几个三角形“五心”问题

唐昊天

【摘要】本文依据三角形“五心”的几何性质在解析几何中的简洁表述，探讨一些复杂的平面几何问题在解析几何当中的解决方法.

【关键词】三角形“五心”；坐标表示；欧拉线

三角形的内心，外心，中心，垂心，旁心称为三角形的“五心”.在三角形的“五心”中，如果知道A、B、C的坐标，则重心G的坐标公式可由定比分点公式求得.鉴于线段的中垂线和点到直线的垂线方程在解析几何当中非常容易求出，外心和垂心的坐标计算可以合理建立坐标系而得到简化，因此不需要用一个冗长的公式去描述，下面的例题（欧拉线）体现了利用解析法解决关于重心、外心、垂心的问题的思路.

图 1例1 已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H.求证：O，G，H三点共线，并且HG=2OG.

证明 如图1，以BC所在直线为x轴，A 到BC的垂线所在直线为y轴建立直角坐标系，并设A（0，a），B（b，0），C（c，0）.

则Gb+c3，a3，xH=0，xO=b+c2.

显然，B到AC的垂线点斜式方程为

y=ca（x-b）H0，-bca ；

AB的垂直平分线方程为y-a2=bax-b2Ob+c2，bc+a22a.

要证明O，G，H三点共线，只需证

b+c3a310-bca1b+c2bc+a22a1=0，

即证-bcab+c31b+c21-b+c3a3b+c2bc+a22a=0，

即bc（b+c）6a-[（b+c）（bc+a2）6a-a2（b+c）6a]=0.

此式显然成立，故O、G、H三点共线.

用两点间距离公式平方得

OG2=b+c62+3bc+a26a2，

HG2=b+c32+a3+bca2=4b+c62+43bc+a26a2.

∴HG=2OG.

关于三角形的内心和旁心，我们先证明一个引理，然后利用向量的性质可以得到它们轮换对称的坐标表示.

引理1 在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c.则I 是△ABC的内心的充要条件是aIA+bIB+cIC=0→.

证明：先证充分性.

∵IB=IA+AB，IC=IA+AC，IA+bIB+cIC=0→，

∴（a+b+c）IA+bAB+cAC=0→，

∴AI=ba+b+cAB+ca+b+cAC，

∴AI=bca+b+cABAB+ACAC.

亦即I在∠A 平分线上，同理可证I在∠B和∠C平分线上.

再证必要性.

IB=IA+AB，IC=IA+ACaIA+bIB+cIC=（a+b+c）IA+bAB+cAC.

不妨假设∠A 平分线交BC于D，则AB=DB-DA，AC=DC-DA.

bAB+cAC=-（b+c）DA.而DAIA=a+b+cb+cbAB+cAC=-（a+b+c）IA.

于是aIA+bIB+cIC=0.

假设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由引理及向量的坐标表示易得Iax1+bx2+cx3a+b+c，ay1+by2+cy3a+b+c.类似地，对于旁心有以下结论：IA 是△ABC的旁心 （定义BC=a，AC=b，AB=c.而且IA在∠A的内角平分线上.）的充要条件是aIA-bIB-cIC=0.

因此IAax1-bx2-cx3a-b-c，ay1-by2-cy3a-b-c，

同理有IBbx2-ax1-cx3b-a-c，by2-ay1-cy3b-a-c，

ICcx3-bx2-ax1c-b-a，cy3-by2-ay1c-b-a.

下面的例题体现了三角形内心和旁心坐标公式的应用.

图 2例2 如图2，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.I，G分别是△ABC的内心和重心，而且AB+AC=3BC，求证IG⊥BC.

证明：由椭圆的定义，A在以B，C为焦点，长轴长度为3BC的椭圆M上，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设B（-t，0），C（t，0），椭圆M的方程为x29t2+y28t2=1.

设A（x1，y1）Gx13，y13

而xI=2tx1-tb+tc2t+c+b.

注意到c-b=2ex1，c+b=6txI=8t÷38t=13x1=xG，又因為BC所在直线为x轴，故IG⊥BC.

引理2 如图3，已知在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线L.又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB 于D；交直线L于E，F.则DF过△ABC的旁心IA.

说明：引理2为2005年全国高中数学联赛第二试第一题.

图 3例3 如图3，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线L.又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB 于D；交直线L于E，F.过点C作DF平行线交L于P，求证：AP=ab-b2c.

证明：由引理，IA∈lDF.

以A为原点，EF为x轴，EF中垂线为y轴建立直角坐标系，

并设B（x1，y1），C（x2，y2），E（b，0），F（-b，0）.

∴lDF：y=y1x1+c（x+b），IAbx1+cx2b+c-a，by1+cy2b+c-a.

IA∈lDFy1x1+cbx1+cx2+b（b+c-a）b+c-a=by1+cy2b+c-a.y1x1+c（bx1+bc+cx2+b2-ab）=by1+cy2.y2=y1x1+cx2-ab-b2c.

注意到，这个结论等价于过（x2，y2） 且以y1x1+c 为斜率的直线横截距为ab-b2c，而∵lCP//lDF，∴klCP=y1x1+c.

∵C（x2，y2）∈lCP，

∴AP=ab-b2c.