“二元一次方程组”导学

田载今

人教版初中数学教科书第八章“二元一次方程组”的主要内容有：二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法、用二元一次方程组解决实际问题、三元一次方程组的解法.通过学习这些内容，同学们对方程的认识会从“一元”发展到“多元”，从单一的方程上升到由多个方程组成的方程组.

一、二元一次方程组是解决有两个未知数的问题的数学工具

有些问题中只有一个未知数，我们可以用一元一次方程解决，例如，对于问题“一个数的2倍与5的和是25，这个数是几”，我们可以列方程2x+5=25.一元一次方程是含一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，它是最简单的方程.

有些问题中包含两个未知数，且两个未知数之间存在某种相等关系，要表示这种关系就要用含这两个未知数的方程.例如，对于问题“一个数的2倍.亏另一个数的3倍之和是20，这两个数分别是几”，我们可以列方程2x+3y=20.这是含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，我们称这样的方程为二元一次方程，它的一般形式为ax+by=c，其中x、y是未知数，a、b、c是已知数，a、b不等于0，它们分别是x、y的系数.

有些问题中包含两个未知数，且两个未知数之间存在两种相等关系，要表示这两种关系就要用两个含这两个未知数的方程.例如，对于问题“笼中有鸡和兔共40只，它们共有100只脚，鸡、兔各有多少只”，我们可以设鸡、兔分别有x只、y只，从而列出方程x+y=40和2x+4y=100，x和y要同时满足这两个方程，为此，我

二、消元是解方程组的基本策略

解方程组就是求方程组中各个方程的公共解，一般地，二元一次方程组中有两个方程，含两个未知数.

三、列方程组把产际问题转化为数学模型

通过列方程可以把相等关系“翻译”成等式，这样建立数学模型是解决许多问题的好方法.如果问题中有两个或更多个未知数，则问题中一般会有两种或更多种相等关系制约这些未知数.我们可以根据这些相等关系列出方程组，这样的方程组就是问题的数学模型.一口一口地吃”，未知数也要一个一个地求.解三元一次方程组的基本策略仍是消元，即把“三元”化为“二元”，再把“二元”化为“一元”.消元时可用代人消元法或加减消元法.同学们在解三元一次方程组时，要根据方程组的具体情况来确定先消去哪个未知数.消去一个未知数后，组成二元一次方程组继续求解，解三元一次方程组与解二元一次方程组相比.只是步骤更多些，道理是一样的.

随着实际问题中未知数个数的增加，所用方程组的复杂程度也相应提高，但是简单问题与复杂问题是相通的，化复杂为简单是解决问题的基本策略.我国古人对方程组已有很深入的研究，他们对方程组解法的论述与现在线性代数中的做法基本一致.在《九章算术》这部古老的数学著作中，有关于用一次方程组解决实际问题的记载，其中一题为：

3捆上等谷，2捆中等谷，1捆下等谷，可打出39斗谷子；2捆上等谷，3捆中等谷，1捆下等谷，可打出34斗谷子；1捆上等谷，2捆中等谷，3捆下等谷，可打出26斗谷子.问：上、中、下等谷每拥各能打出多少斗谷子？（斗，旧制容积单位，l斗=10升）

利用三元一次方程组可以解决这个古老的问题，有兴趣的同学不妨试一试，

学习了方程组以后，同学们可以很方便地分析和解决含多个未知数的问题，并体会到对方程的认识又深入了一些，预祝同学们通过学习本章知识，能在知识、能力、经验等方面都有新收获，能更好地掌握一次方程组这个重要的数学工具.