探究过两点的圆的方程的求法

李晶 李德安

求圆的方程的问题是常见的题目。圆的普通方程有两种形式：（1）标准方程，即（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）；（2）一般方程，即x2+y2+Dx+Ey+F=O（D2+E2-4F>O）。无论通过哪种形式求方程，都需要确定三个量（a、b、r或D、E、F），为此，需要列出三个方程。较常见的已知条件有：（1）圆经过已知的三点；（2）圆经过已知的两个点，再加上另外一个条件；（3）圆经过已知的一个点，再加上另外两个条件。其中，圆所经过的点，经常以所求圆经过两圆的交点或经过直线与圆的交点的形式阐述。现通过典型例题，探究过两点的圆的方程的求法。

评析：变式3转化为变式2后，之所以还有解法6和解法7两种解法，是由于利用了已知条件OM⊥ON，利用该条件不仅可求出m的值，还说明所求圆C经过坐标原点，据此，可以反映出更多的信息特征。

通过例题与变式题的分析与解答，拨云去雾，我们解决了求过已知两点的圆的方程问题，已知的两点可以直接给出，但通常给出的会“委婉”些：过已知两圆的交点，或过已知直线与圆的交点等。解题时，我们可以将“委婉”的条件显化出来（求出具体的点），也可以继续“委婉”下去，看看它还意味着什么。与此同时，已知中一定还有其他条件，可以独立地进一步发展条件，亦可与已知的两点综合起来考虑。

现结合例题与变式题的解答，谈谈解题的四部曲。

一、解什么题

平时解题训练中，只做简单的题目达不到高考的要求，一味地追求难题无疑于在浪费时间，同…类题目做得太多又过犹不及。通过解题，我们要将复杂问题简单化，简单问题规律化（本文中的题目是简单的，我们不能草草处理，要究其本质，探其规律）。同时，要注重解题的质量，提高解题的效率，多关注一题多解及多题一解，通过题目的变式训练，发现、总结相关题目的内在联系。在选择题目时，还要注意到：题目的难易程度；单一性题目与综合性题目的安排；不同的内容所采用的不同题型及难易程度等。

二、怎样解题

我们不能靠背题、背答案来解题，重要的是要掌握科学、有规律的解题方法，形成正确的解题习惯。

（1）要研究和掌握不同类型的试题的不同解法。

①知识性的题需要在记忆的基础上去解答，对能力要求高的试题要总结规律。

②分析、总结各种题型解题方法上的异同。

（2）弄清每种解题方法都可以解决哪些问题。

三，重视解题反思

不能答完题就万事大吉，重要的是认真总结得失、总结规律。对平时的每一次考试及练习，要不断地进行对比、分析。

（1）分析自己的水平，确定进一步努力的侧重点。

（2）分析自己各部分内容的得分及失分情况。

（3）针对某一题，答对了要分析方法是否科学、是否符合要求、是否还有更简便的方法、是否可将解法一般化，答错了要总结失分的原因，弄清楚错误的步骤及思维受阻的原因。

（4）要与以前解同类题的情况进行比较，看是否进步了，以及进步了多少。

四、提高解題速度

要有意识地训练自己的解题速度，合理安排考试时间。提高解题速度，需要熟悉各种方法、把握解题规律、增强题感。

上述的解题四部曲似乎很费时间，但做好了会取得事半功倍的效果。（责任编辑 袁伟刚）