浅谈巧用全等变换解题

黄诗竺

【摘要】新数学课程标准指出，重视变换——让图形动起来。图形的全等变换的三种基本形式：对称、平移、旋转，合成了大千世界许许多多千姿百态的图形运动，为我们探索研究各种几何图形提供了十分有用的动态的变换方法，以动态的变换方法研究静态的几何图形，真正让几何动起来，更好地理解数学思想和数学本质。

【关键词】巧用 全等变换 解题

新数学课程标准指出，重视变换——让图形动起来。几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。而图形的全等变换是几何变换的内容之一。图形的全等变换有三种基本形式：对称、平移、旋转，这三种变换合成了大千世界许许多多千姿百态的图形运动，为我们探索研究各种几何图形提供了十分有用的动态的变换方法，以动态的变换方法研究静态的几何图形，真正让几何动起来，更好地理解数学思想和数学本质。

对称、平移、旋转三种全等变换就是用运动的观念来研究几何问题。在解决几何问题中，大胆构造，大手笔地运用全等变换，往往会产生意想不到的效果。下面举例谈谈如何巧妙利用全等变换来解题。

一、轴对称法

例1：已知：如图1，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°

图1

简注：本题关键是要抓住BD是∠ABC的角平分线这一轴对称图形，来构建全等变换模型，可以用多种方法来解题。

方法一，在BC上取BE=BA，使⊿BAD，⊿BED关于BD对称，∠A对应到∠BED，ED=AD=DC，则∠C=∠DEC，∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°；

方法二：延长BA到F，使BF=BC，使⊿BFD，⊿BCD关于BD对称，∠C对应到∠F，FD=CD=AD，∠F=∠FAD，∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°；

方法三：过D作DN⊥BC于N，DM⊥BA的延长线于M，则⊿BMD，⊿BND关于BD对称，则DM=DN，已知AD=CD，则RT⊿BMD≌RT⊿BND，则∠C=∠MAD，则∠BAD+∠C=∠BAD+∠MAD=180°。

二、平移法

例2：如图2所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。

图2

简注：本题的关键是AC、BF在等腰三角形EAF两腰所在的线上，因此，只要把AC或BF进行平移，构造新的等腰三角形就可以了。

方法一：过点B作BM∥AC交AD的延长线于M，易得⊿BMD≌⊿CAD，

则BM=AC，因为⊿EAF等腰三角形，易得⊿BMF是等腰三角形，则BM=AC=BF.

方法二：过点C作CN∥BF交AD的延长线于N，易得⊿BFD≌⊿CND，

则BF=NC，因为⊿EAF等腰三角形，易得⊿CAN是等腰三角形，则CN=AC=BF.

当然，本题也可以用中心对称来证明，也非常简单。

例3：如图3，点D、E三等分△ABC的BC边.求证：AB+AC>AD+AE

图3

简注：本题主要利用三角形的三边关系来证明线段的不等关系，关键是要在同一个三角形中，因此，可以通过构建全等变换图形平移线段来解题。

图4

方法一：图4，过点B作BF∥AE，过点D作DF∥AC，两线交于点F，DF交AB于点M，即把⊿FBD平移到⊿AEC，易得⊿FBD≌⊿AEC，则BF=AE，DF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿ADM中AM+DM>AD，两式相加得FM+BM+AM+DM>BF+ AD，即AB+AC>AD+AE；

图5

方法二：图5，过点B作BF∥AD，过点E作EF∥AC，两线交于点F，CF交AB于点M，即把⊿ADC平移到⊿FBE，易得⊿ADC≌⊿FBE，则BF=AD，EF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿AME中AM+EM>AE，两式相加得FM+BM+AM+EM>BF+ AE，即AB+AC>AD+AE；

图6

方法三：图6，过点C作CM∥AD交AE的延长线于M，过E作EF∥AB， 交AD的延长线于F，易得CM=AD，AM=2AE；EF=AB，AF=2AD。在⊿ACM中AC+CM>AM，在⊿AEF中AE+EF>AF，两式相加得AC+CM+AE+EF>AM+ AF，即AB+AC+AD+AE>2（AD+AE），则AB+AC>AD+AE；

三、旋转法

例4：如图7点P为等边⊿ABC内的一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数。

图7

简注：本题主要由正三角形、正方形等旋转图形联想到构建旋转模型，关键是把分散的条件集中在一起，从而搭通已知和未知的关系，问题就可以迎刃而解。

简解：把⊿BAP绕点B顺时针旋转60°，得到⊿BCQ，则⊿BAP≌⊿BCQ，

则BQ=BP=4，CQ=AP=3，∠APB=∠CQB，易得⊿BPQ是等边三角形，则PQ=BQ=4，∠PQB=60°。在⊿CPQ中，CQ=3，PQ=4，PC=5，由勾股定理的逆定理知，⊿CPQ是RT⊿，∠PQC=90°，所以，∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=

60°+90°=150°

综上所述，图形的全等变换，是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。通过构建全等变换模型，不仅可以把分散的已知条件集合在一起，把不规则的图形变为有规则的图形，从而搭通已知和未知的桥梁，还可以让学生的思维得到拓展，不断培养他们的创新思维。

【参考文献】

[1]义务教育《数学课程标准》（2011版），北京师范大学出版集团，2012年2月。