用导数法解决三角函数最值问题

张艳

整体思想可以降低“设角”难度

例1  已知函数[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]试求当[tanθ]为何值时，函数取最小值.

解析  [f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

[=3sinθ-1cos2θ，]

令[f（θ）=0]，则[sinθ=13].

当[sinθ>13]时，[f（θ）>0].

当[sinθ<13]时，[f（θ）<0].

∴当角[θ]满足[sinθ=13]时，[f（θ）]最小.

点拨  本题角度也不是特殊角，没有令[sinθ0=13]，而是直接作为整体，判断出函数[f（t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上单调递减，在[（13，22）]上单调递增，从而求出函数的最小值.

例2  已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），试求当角[α]的余弦值为何值时，函数取最小值.

解析  ∵[f（α）=5-33cosαsin2α]，

令[cosα=t，|t|<1]，则[y=5-33t1-t2.]

∴令[y=0]得，[t=533].

当[t<533]时，[y>0].

当[t>533]时，[y<0].

∴[t=533]时，[y]取得最大.

∵[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，

∴当[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]最小.

点拨  整体法有个易错的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数”这句话，不考虑内层函数的单调性，我们是不是就会得出当[cosα=533]时，[f（cosα）]取最大呀？很明显函数[f（t）]应该在[（-1，533）]上单调递增，在[（533，1）]上单调递减，那么对函数[f（t）]来说，在[t=533]处只能取得极大值，而不是极小值，这就和题目要求的结果相悖.

事实上，这都是复合函数惹的祸，或者说就是余弦函数惹的祸.因为作为内层函数[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，外层函数的单调性直接受到内层函数的影响，所以当角[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]取得最小.

换元之后再求导可减少运算量

例3  求函数[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值与最大值.

解析  设[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

则[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

求导，[y=1+1t2>0]，

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函数.

∴当[t=1]时，[ymin=0].

当[t=3]时，[ymax=83].

点拨  对于本题，我们要直接求导也不是不可以，但是稍微难了.而上面的解法先换元再求导，可以大大地降低运算量.

以角度所在的区间作为函数单调区间

例4  已知[x]为锐角，求函数[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析  因为[y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

当[y=0]时，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因为[x]是锐角，所以[x=π3].

当[0

当[π30].

函数[y]在[（0，π3）]上单调递减，在[（π3，π2）]上单调递增，

因此，当[x=π3]时函数有最小值16，函数无最大值.

点拨  三角函数的单调区间一般使用弧度制，在确定单调区间之后，便可以确定函数的极值点，从而确定三角函数的最值，这一点和一般函数并没有二样.

将角度直接作为三角函数式子的一部分

例5  某园林公司计划在一块[O]为圆心，[R]（[R]为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形[CMDC]区域用于观赏样板地，[ΔOCD]区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

[草皮地][花木地][观赏样板地][草皮地]

（1）设[∠COD=θ]，[CMD=l]，分别用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面积[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？

解析  （1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，

[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].

又[S扇=12Rl]，

[∴SΔOCD=12R2sinlR]，

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

（2）设总利润为[y]元，草皮利润为[y1]元，花木地利润为[y2]，观赏样板地成本为[y3.]

[y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ?8]，

[y3=12R（l-Rsinθ）?2]，

[∴y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ?8-12R2（θ-sinθ）?2]

[=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].

设[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，]

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上为减函数.

[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上为增函数.

当[θ=π3]时，[g（θ）]取到最小值，此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成[π3]时，总利润最大.

点拨  一般来说，一个三角函数式中各个部分都应是三角函数，但是本题却部分出现了角度单列的现象. 其实不就是求导吗？一个角度其实就是一个自变量[x]，单独的[x]难道就不能求导了吗？当然本题要是写成[g（x）=x-2sinx]或许你就会了吧？

“设而不求”应对非特殊角极值点横坐标

例6  函数[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值时，[cosθ]的值.

解析  当[0<θ<π3]时，求导得，

[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

记区间[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角为[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼&[0， θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0， π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函数＼&极大值＼&减函数＼&]

所以当[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]时，[y]取得最大.

点拨  本题和前面例题不同之处在于，极值点横坐标不是特殊的角度，不能直接表达单调区间.怎么办？遇到此类情形，因为这个极值点是存在的，但是我们最终又不需要求出这个横坐标，只需要对应的函数值，因此我们完全可以“设而不求”.

例7  求函数[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值时，[tanθ]的值.

解析  [f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，设[sinθ02=16，]

[f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].

[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].

函数[f（θ）]在[（0，θ0）]上单调递增，在[（θ0，π2）]上单调递减，所以函数[f（θ）]在[θ=θ0]处取最大值.

此时[sinθ02=16，][tanθ02=135]，

[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]

所以，[f（θ）]取最大值时，[tanθ]的值为[3517].

点拨  本题实际上可以用二倍角公式展开，再用二次函数解决的，这里仅仅为了熟悉“设而不求”的手段.