向量在解决高中数学问题中的应用

宋丽娜

【摘 要】 “向量”可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用。本文对此进行了分析研究，教师首先要让学生明白“向量”在数学习题中的价值意义，从而培养学生的向量解题思维，帮助学生在不断的摸索中能够找到更多的解题途径和方法，培养学生的向量应用意识。

【关键词】 向量；高中数学；应用；研究

高中数学问题相对于其他阶段的数学问题而言具有一定的复杂性，并且高中数学知识也有着相应的连贯性特点，所以针对一个题目会存在着多种解答方法。“向量”也可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用价值，应用到各类数学问题中去。

一、教学策略中体现“向量”的价值意义

向量在许多数学问题上能够作为有效的手段进行问题解决，因此向量在数学教学中是一个非常重要的环节，教师进行向量基础知识的教学中就应该重视对向量的价值意义进行解释，使得学生对向量的学习保持着一定的热情，从而能够重视向量知识的应用。例如在学习“向量的加法”时，设a=（x，y），b=（x1，y1），向量满足着平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出AB+BC=AC，由此满足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，所以教师便可以让学生进行猜想：平面问题的解决是否可以用向量知识来解答呢。这个问题就是“向量”价值意义的体现，促进学生在学习向量这个知识时能够结合其他知识来进行思考，推动知识的结合应用，充分把向量的价值意义能够从其他类型的知识体系中体现出来。这也是教师教学策略的体现，让学生巩固数学知识，寻找解决途径。又比如“数乘向量”的学习，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa=λ·a∣。当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。需要追的是：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。这种数乘向量的知识也有着其重要的价值意义，规律中对λ的讨论就是一种严谨性的数学意识，这在高中数学学习中非常重要，因此向量知识也将此体现出来。而向量特殊的方向性，对整个数学问题的讨论有着指导性作用，引导着学生更加注意到数学问题中的正负问题，这在其他类别的数学问题上也有着体现，所以向量的价值意义还在于对其他知识体系的映射，学生能够通过向量的学习类比其他数学问题，这便是非常重要的数学经验。

二、“向量”是一种解题的工具

对于数学题目的解决方法而言，向量更像是一种解题的工具，针对不同类型的题目，向量都能够运用其中。学生有时遇到难题，不妨可以往向量这个知识点来考虑，也许会为自己的思路创造一个新的途径。例如向量可以与线性规划知识联系起来，例如一道题目：“已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤向量OP·向量OM≤1，0≤向量OP·向量ON≤1，则z=向量OQ·向量OP的最大值为_______”这一道题目就充分将平面直角坐标系、线性规划等代数问题进行融合，学生利用向量的算法知识能够得到一条解析式，而这条解析式就与“最值”问题直接产生着联系，通过线性规划便能够得出题中所说要求的“最大值”。所以此题，向量作为一种工具把题目中的条件进行变性，从而跳到另一个知识体系的讨论中去，理清了题目的思路，简化的题目的问题。所以学生要学会进行观察和分析，弄清楚向量在题目中的作用。

向量的工具性还体现在解三角形的问题上，比如题目：“已知三角形ABC中，坐标依次是A（2，1），B（3，2），C（-3，1），BC边上的高为AD，则向量AD的坐标是_______. ”这道题目就是向量在几何问题上的应用，学生必须先对A、B、C三个点进行观察建立相关的向量表示法，才能找到解题的突破口，此题中D点的坐标是一个未知数，而通过其他三个点的向量标示才能够看出线段之间的联系，D点作为一个未知点可以用未知坐标表示法来与其他线段建立联系，从而推断出向量AD的具体坐标。由此可见，向量的应用在几何问题上也能够作为一种“工具”将看似复杂的问题简化。所以学生必须意识到向量的“工具性”作用才能为自己的解题开创道路。

三、培养学生的向量应用意识

向量不仅是一种联系题目与解题思路的工具，更是一种解决题目的方法，许多问题也可以通过向量来考虑，也许会比传统的方法更加省时省脑力。因此教师在进行教学时也要意识到向量知识是一种解题思路和方法，面对困难的问题时，向量也是一个值得考虑的方法，帮助学生快速组织思路、找到解题方法。例如在解析几何问题中，常常会遇到已知某些点的坐标，然后求另一个点的坐标问题。针对这种情况的问题，学生们大多数会因为题目范围是解析几何，涉及函数运算的问题，所以会忽视其他知识的运用。所以很多学生往往是通过求方程解析式，然后建立方程组，根据一系列运算规律得出某点坐标。而从向量的角度看，直接设立所求点的坐标未知数，然后根据向量的几何性质建立相应的函数解析式再来求出某个点的坐标。明显得出，向量知识在题目中的应用会比传统的解题思路要省力许多，放在考试上则会节约学生很多时间。所以教师在平时就要培养学生应用向量的意识，遇到难题时不要死停在传统的思路上，不妨运用向量解题的方法或许会开明许多。

总体而言，向量作为高中数学知识系统中的一个小部分，其功能和作用却有着不小的影响。教师需要做的是首先让学生明白“向量”在数学习题中的价值意义，从而培养学生的向量解题思维，帮助学生在不断的摸索中能够找到更多的解题途径和方法。向量作为一个特殊的数学问题是值得学生去琢磨和学习的。

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