2015年高考数学试题评析

本刊特约数学试题评析组

今年全国各地的高考数学试卷，整体结构与知识分布相对稳定，分值与往年相同，并沿用多年的命题风格。试卷在对基础知识、基本技能和思想方法全面考查的同时，还力求创新，突出对学生实践能力的考查，要求积极探索，运用已有的数学知识、方法和技能解决有关问题。概观今年全国各地高考试卷，有许多经典试题，但也存在个别有争议的试题。

一、值得肯定的试题

例1 （湖北文科卷第2题）：我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（B）

A134石 B169石 C338石 D1365石

【答案】B。

【解析】本題主要是按比例进行计算即1534x=25428x≈169。

例2 （全国Ⅱ卷理科第8题）：右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a = 。

A0 B2 C4 D14

【答案】B。

【解析】本题既可以利用算法，通过不断地赋值得出最终的答案，又可以利用对“更相减损术”的理解来解题。

方法1：利用算法解题即程序在执行过程中，[WTBX]a，b的值依次为a=14，b=18；b=4；a=10；a=6；a=2；b=2，此时a=b=2程序结束，输出a的值为2[WTBZ]，故选B。

方法2：“更相减损术”是用来求两个数的最小公倍数的方法，题中给出14与18，其最小公倍数为2，故直接得出答案。

【点评】这两道题分别选自中国古代数学专著《数书九章》和《九章算术》。两道题的解法简单，却渗透着中国古代的数学文化，两道题都强调中国古代数学文化的传统特色，使学生在做题过程中，潜移默化地接受我国古代传统文化的熏陶，感受中华优秀文化传统的博大精深。

例3 （北京文科卷第14题）：高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是： ；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是： 。

【答案】乙，数学。

【解析】①题由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后，乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填“乙”。

②题由图可知，比丙的数学成绩排名靠后的人比较多，而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填“数学”。

【点评】本题突出对图形、图表语言运用能力的考查。它要求考生从图表中获取信息，并进行信息整合、逻辑推理，从而得出答案。该题既体现了数学中“数形结合”的思想，同时又重视考查考生解决实际问题的能力。

例4 （全国Ⅱ卷理科第19题）：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

【解析】（1）如图[WTBX]

（2） 如图以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A10，0，0，F（0，4，8），E（10，4，8），G（10，10，0），H（0，10，0）， FE=（10，0，0），EG=（0，6，[JP2]-8），设平面α的法向量为[AKm→D]=（x，y，z），则[AKm→D]·FE=0且[AKm→D]·EG=0，即10x=06y-8z=0，令y=4，则x=0，z=[JP2]3，故[AKm→D]=（0，4，3），又有AF=（-10，4，8），cos〈AF，[AKm→D]〉=-10×0+4×4+8×3（-10）2+42+82×02+42+32=4515，设直线AF与平面α所成角为θ，则sin θ=cos〈AF，[AKm→D]〉=4515，即直线AF与平面α所成角的正弦值为[SX（]4[KF（]5[KF）][]15[SX）]。

【点评】本题以长方体为载体，通过对问题的分层设计，综合考查了学生对于面面平行、面面垂直的理解与应用，以及直线与平面所成角的求法，本题紧扣教材，符合新课程标准的特点。问题（1）考查学生对面面平行性质定理的理解和应用，同时考查学生的动手操作能力。问题（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值，是立体几何中常规的求空间角问题，学生对此类题目较熟悉，容易入手。问题（2）既可以采用传统几何的方法，通过作辅助线寻找直线AF与平面α所成角求解，也可以建立空间直角坐标系，应用空间向量的坐标运算解决线面成角问题。这一问处理方法比较灵活，适合不同层次的考生解答。但是本题问题的设计有别于以往证明平行、垂直问题的方式，本题既考查了立体几何中基本思想与方法的运用能力，又考查了学生的实际操作能力。因此，该题能有效检测学生的数学综合素质。[WTBZ]

例5 （江苏卷第17题）：某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和25 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=[SX（]a[]x2+b[SX）]（其中a，b为常数）模型。

（1）求a，b的值。

（2）设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t。

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。

【解析】本题第一问求a，b的值，需要两个式子，所以到图形中寻找两个已知点的坐标，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，25），将其分别代入y=ax2+b解得a=1000b=0。

（2）①由上一问题知y=1000x2（5≤x≤20），则点P的坐标为（t，1000t2），设在点P处的切线l分别交x，y[JP2]轴于A和B两点，y′=-2000x3，则l的方程为y-1000t2=-2000t3（x-t）， 由此得A（3t2，0），B（0，3000t2）。

故f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈5，20。

②设g（t）=t2+4×106t4，则g′（t）=2t-16×106t5。令g′（t）=0，解得t=102。

当t∈（5，102）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；当t∈（102，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数。从而，当t=102时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min=300。此时f（t）min=153。

答：当t=102时，公路l的长度最短，最短长度为153 km。

【点评】本题一方面考查了函数的概念、导数的几何意义及其应用，另一方面又考查了运用数学模型及数学知识分析、解决生活中实际问题的能力。从整道试题来看，g′（t）=2t-16×106t5=0方便计算，目的数据是精心设计的，以便让学生有更多的时间思考解决问题的策略，而不是纠缠于烦琐的计算上。更为可贵的是，本题结合实际交通问题，要求学生建立数学模型，适度创新，运用所学的数学知识分析问题，完成山区公路设计，使学生认识到，数学知识可以解决实际问题。

二、值得商榷的试题

例6 （江苏卷第14题）：设向量ak=（coskπ6，sinkπ6+coskπ6）， （k=0，1，2，…，12），则∑11k=0（ak·ak+1）的值为 。

【答案】93。

【解析】方法1：本题要求∑11k=0（ak·ak+1）的值，学生很容易想到先算出akak+1的表达式，然后令表达式中的k从0取到11，对表达式进行求和。

[HT5，6。5]

akak+1=[HT5，6。5]（coskπ6，sinkπ6+coskπ6）·（cos（k+1）π6，sin（k+1）π6+cos（k+1）π6）

=[HT5，8。]

coskπ6cos（k+1）π6+（sinkπ6+coskπ6）（sin（k+1）π6+cos（k+1）π6）

=[HT5，6。5]2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6sin（k+1）π6+coskπ6sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6

=[HT5，6。5]coskπ6（coskπ6cosπ6-sinkπ6sinπ6）+cos（kπ6-（k+1）π6）+sin（kπ6+（k+1）π6）

=32cos2kπ6-12sinkπ6coskπ6+32+sin（2k+1）π6

=34coskπ3+12-14sinkπ3+32+sin（2k+1）π6

=334+12cos（2k+1）π6+sin（2k+1）π6

∑11k=0（ak·ak+1）=334×12=93。

方法2：

2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6

sin（k+1）π6+coskπ6·sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6，對于这一步，我们可以用积化和差公式来进行化简，积化和差公式如下：

sin αcos β=[SX（]1[]2[SX）][sin（α+β）+sin（α-β）]

cos αsin β=[SX（]1[]2[SX）][sin（α+β）sin（α-β）]

cos αcos β=[SX（]1[]2[SX）][cos（α+β）cos（α-β）]

sin αsin β=[SX（]1[]2[SX）][cos（α+β）cos（α-β）]

那么2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6sin（k+1）π6+coskπ6sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6

=334+12cos（2k+1）π6+sin（2k+1）π6

这样就避免了先用三角和差公式，再用降幂公式所进行的烦琐计算。

∑11k=0（ak·ak+1）=334×12=93。

【点评】本题主要考查向量的数量积和三角函数的性质，本题作为试卷填空题的压轴题，过于简单，思维含量不高，只是考查了学生的运算能力。本题用方法1计算量很大，学生不容易解出来，用积化和差公式解答本题非常快捷，但是2015年江苏省数学考试说明中明确规定：学生并不需要掌握积化和差公式。也就是说，积化和差公式不在2015年江苏高考的范围内。因此，该题有超纲之嫌。

[WTBZ]

例7 （江苏卷第18题）：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），且右焦点F到左准线l的距离为3。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程。

[WTBX]

【答案】（1）x22+y2=1；（2）y=x-1或y=-x+1。

【解析】（1）求橢圆的标准方程，只要列出两个方程即可：一是离心率的式子，另外一个是焦点到准线的距离的式子即可求出椭圆方程x22+y2=1。

（2）方法1：求直线AB的方程，已知直线过定点，所以选择直线方程的点斜式进行计算。当ΑΒ⊥x轴时，ΑΒ=2，又CΡ=3，不合题意；当ΑΒ与x轴不垂直时，设直线ΑΒ的方程为y=k（x-1），Α（x1，y1），Β（x2，y2），将ΑΒ的方程代入椭圆方程，得[JP2]（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，则x1，2=2k2±2（1+k2）1+2k2，C的坐标为[HT5，5"]2k21+2k2，-k1+2k2，且ΑΒ=[KG-*2][HT5，5"]x2-x12+y2-y12=1+k2x2-x12=221+k21+2k2

若k=0，则线段ΑΒ的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k≠0，故直线ΡC的方程为y+[HT5，6]k1+2k2=-1kx-2k21+2k2，则点Ρ的坐标[HT5，6]-2，5k2+2k1+2k2，从而ΡC=23k2+11+k2k1+2k2因为ΡC=2ΑΒ，所23k2+11+k2k1+2k2=421+k21+2k2，解得k=±1，此时直线ΑΒ的方程为y=x-1或y=-x+1。

方法2：AB为焦点弦，所以可以用圆锥曲线第二定义求焦点弦长，设Α（x1，y1），Β（x2，y2），AB=AF+[JP2]BF，由圆锥曲线第二定义知AF2-x1=22AF=2-22x1 ，BF2-x2=22BF=2-22x2 ，AB=22-22（x1+x2）。

当ΑΒ⊥x轴时，ΑΒ=2，又CΡ=3，不合题意。

当ΑΒ与x轴不垂直时，设直线ΑΒ的方程为y=kx-1，中点Cx0，y0，则直线PC的方程为

y-y0=-1kx-x0，PC=1+1k2（x0+2）。

将ΑΒ的方程代入椭圆方程，得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0，

x1+x2=4k21+2k2x0=2k21+2k2，AB=22-22（x1+x2）=22-2x0=2（2-x0）

ΡC=2ΑΒk4-2k2+1=0k2=1k=±1

此时直线ΑΒ的方程为y=x-1或y=-x+1。

【点评】本题主要考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，第一问很简单，第二问因为直线AB过点F，所以求直线AB的方程即需要求直线的斜率，本题关键是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，有一定的运算量，答案的解法即方法1是用求根公式做本题，这样运算量很大。而将ΑΒ的方程代入椭圆方程，得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0，则x1，2=2k2±21+k21+2k2，C的坐标为2k21+2k2，-k1+2k2，且ΑΒ=x2-x12+y2-y12=1+k2x2-x12=221+k21+2k2，换成用韦达定理x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2ΑΒ=x2-x12+y2-y12

=1+k2x2-x12

=221+k21+2k2。

计算简单很多，或者用方法2计算起来也很快捷，但是考纲上明确指出，对韦达定理不做考试要求。因此，该题也有超纲之嫌。

例8 （湖北卷理科第14题）：如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2。

（1）圆C的标准方程为 ；

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

①[SX（]NA[]NB[SX）]=[SX（]MA[]MB[SX）]；②[SX（]NB[]NA[SX）]-[SX（]MA[]MB[SX）]=2； ③[SX（]NB[]NA[SX）]+[SX（]MA[]MB[SX）]=2[KF（]2[KF）]。其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）。

【答案】（1）（x-1）2+（y-[KF（]2[KF）]）2=2；（2）①②③。

【解析】（1）设圆心T（1，0）（r为圆的半径），因为AB=2，所以r=12+12=2，圆心C（1，2），故圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=2；

（2）本题是求过点A任作一条直线都成立的结论，所以选择特殊值法。取过A的直线MN方程为x=0，联立方程组[HT5，8。]（x-1）2+（y-2）2=2x=0x=0y=2-1或x=0y=2+1，

因为B在A的上方，所以[JP2]A（0，2-1），B（0，2+1）。

令直线MN方程为x=0，此时M（0，-1），N（0，1）MA=2，MB=2+2，NA=2-2，NB=2，代入计算得知①②③都成立。[WTBZ]

【点评】本题学生用以上解法很容易选出答案，作为压轴题，过于简单，且考查面偏小。学生看完题目，首先会选择用平面几何知识结合圆锥曲线去解题，但是发现很困难，其次会尝试用设点表示直线或设斜率来做，发现计算量太大，于是选择特殊值法，问题迎刃而解。这么容易解答出了试卷的第14题，这样的试卷结构有失合理性。

通过对2015年高考全国各地数学试卷、尤其是对上述8道试题的分析，笔者得到了许多教学启示。其中主要有以下几个方面：第一，在平时的教学中，应引导学生注重对教科书基本知识点的理解、掌握。第二，日常教学中要加强对学生计算能力的训练，一方面，要提高计算的速度；另一方面，要提高计算的准确率。第三，在日常训练中，要强化解题过程的规范性与完整性。第四，注重图表语言理解能力的培养，引导学生注重数形结合的数学基本方法的理解与应用