函数与方程、模型常见题型点津

匡婷 余天锡

函数与方程、函数模型及其应用是高中数学的重要内容，函数与方程思想是重要的思想方法，它是统领高中代数的主线. 此外，函数还容易与数列、立体几何、解析几何、三角及平面向量等形成交汇.

函数与方程思想的应用

1. 函数零点所在区间的判断

函数[y=f（x）]的零点即方程[f（x）=0]的根，亦即[y=f（x）]的图象与[x]轴交点的横坐标. 值得注意的是“零点的本质是实数，不是数对”.

例1 已知函数[f（x）=6x-log2x]，在下列区间中，包含[f（x）]的零点的区间是（ ）

A. [（0，1）] B. [（1，2）] C. [（2，4）] D.[（4，+∞）]

解析 因为[f（1）=6-log21=6>0]，

[f（2）=3-log22=2>0]，

[f（4）=32-log24=-12<0]，

所以函数[f（x）]的零点所在区间为[（2，4）].

答案 C

解读 函数零点所在区间的判断主要有三个方法：（1）直接求出来；（2）利用零点存在性定理判断；（3）依据图象数形结合求解.

2. 判断函数零点的个数

例2 已知函数[f（x）=x3+ax+14]，[g（x）=-lnx].用[minm，n]表示[m，n]中的最小值，设函数[h（x）=][minf（x），g（x）（x>0）]，讨论[h（x）]的零点的个数.

解析 （1）当[x∈（1，+∞）]时，[g（x）=-lnx<0]，

则[h（x）≤g（x）<0]，此时无零点.

（2）当[x=1]时，[f（1）=a+54].

若[a≥-54]，[f（1）≥0]，而[g（1）=0]，此时[x=1]是[h（x）]的零点.

若[a<-54]，则[f（1）<0]，[h（1）=f（1）<0]，此时无零点.

（3）当[x∈（0，1）]时，[g（x）=-lnx>0]，只需考虑[f（x）]在[（0，1）]的零点个数.以导数为工具，通过研究函数[f（x）]的图象与性质，利用零点存在性定理可以得出结论：

当[a>-34或a<-54]时，[h（x）]有一个零点.

当[a=-34或a=-54]时，[h（x）]有两个零点.

当[-54解读 判断函数零点的个数问题是2015年高考最热的题型，可以令[f（x）=0]，试着直接判断方程解的个数. 如果行不通，则结合函数的图象与性质使用零点存在性定理确定，也可以将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.

3. 函数零点的应用

函数零点的应用主要是已知函数的零点或方程的根所在区间、或者根的大小等求参数的范围.

例3 设当[x3+ax+b=0]，其中[a，b]均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）.

（1）[a=-3，b=-3；] （2）[a=-3，b=2；]

（3）[a=-3，b>2；] （4）[a=0，b=2；]

（5）[a=1，b=2].

解析 设[f（x）=x3+ax+b]，所以[f（x）=3x2+a].

当[a≥0]时，[f（x）≥0]，[f（x）]在[R]上单调递增.[f（x）=0]恒有一解，故（4）和（5）正确.

当[a<0]时，令[f（x）=0]得[x=±-a3]， [f（x）]的极大值点是[--a3]，极小值点是[-a3]，要使[f（x）=0]有且只有一个实数根则[f（--a3）<0]或[f（-a3）>0].

在（1）中，[f（x）极大=f（-1）=-1<0]满足题意，故（1）正确.

在（2）中，[f（-1）=4>0]且[f（1）=1-3+2=0]不满足题意.

在（3）中，[f（1）=1-3+b=b-2>0]，故（3）正确.

综上（1）（3）（4）（5）正确.

答案 （1）（3）（4）（5）

解读 “三次函数”是教材之外最简单的有理函数，其零点个数问题是近几年高考热点，此类问题往往与三次函数的极值（有无、符号）有关，一般是结合三次函数的图象求解.

例4 已知函数[f（x）=2ax2+2x-3]，如果函数[y=f（x）]在区间[-1，1]上有零点，则实数[a]的取值范围.

解析 显然[x=0]不是[y=f（x）]的零点，

则函数[y=f（x）]在区间[-1，1]上有零点，

即[?x∈-1，0?0，1]，使得[f（x）=0].

即[?x∈-1，0?0，1]，使得[2a=3x2-2x].

因为[x∈-1，0?0，1]时，

[2a=3x2-2x=3（1x-13）2-13≥1]，

所以[a≥12]，即实数[a]的取值范围为[[12，+∞）].

解读 含参函数存在零点求参数范围问题，本质是一个“能成立”问题（含参等式的特称命题），一般优先采用“提参法”，然后转化为函数值域问题求解.

函数模型及其应用

1. 应用所给函数模型解决实际问题

例5 某食品的保鲜时间[y]（单位：小时）与储藏温度[x]（单位：℃）满足函数关系[y=ekx+b（e=2.718]…为自然对数的底数，[k，b]为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.

解析 由题意得，[192=eb，48=e22k+b]，

则[48192=e22k+beb， ∴e22k=14，][ ∴e11k=12]，

所以[x=33]时，[y=e33x+b=（e11k）3eb][=（12）3×192=24].

答案 24

解读 应用所给函数模型解决实际问题，首先要认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；然后利用已知条件，确定模型中的待定系数；最后利用该函数模型解决问题.

2. 构建函数模型解决实际问题

例6 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为[r]米，高为[h]米，体积为[V]立方米. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000[π]元（[π]为圆周率）. 试确定[r]和[h]为何值时该蓄水池的体积最大.

解析 因为蓄水池的侧面积的建造成本为[200πrh]元，底面的总成本为[160πr2]元，所以蓄水池的总成本 [200πrh][+160πr2]=12000[π]，则[h=15r（300-4r2）.]

从而[V（r）]=[πr2h=π5（300r-4r3）].

由[h>0，r>0]得，[0[V（x）=π5（300-12r2）].

令[V（x）=0]得，[r1=5，r2=-5]（舍）.

当[r∈（0，5）]时，[V（x）>0]，[V（r）]在[（0，5）]上为增函数.

当[r∈（5，53）]时，[V（x）<0]，[V（r）]在[（5，53）]上为减函数.

由此可见，当[r=5，h=8]时，该蓄水池的体积最大.

解读 构建函数模型解决实际问题的基本步骤是：（1）审题；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）回答实际问题. 其中要特别关注自变量的取值范围，合理确定函数的定义域. 从近两年高考试题看，函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，常与基本不等式、导数等知识交汇.

3. 构建函数模型，证明不等式

例7 已知函数[f（x）=ex-ax-1]（[a]为常数），曲线[y=f（x）]在与[y]轴的交点[A]处的切线斜率为-1.

（1）求[a]的值及函数[f（x）]的单调区间；

（2）证明：当[x>0]时，[ex>x2+1]；

（3）证明：当[n∈N?]时，[1+12+13+…+1n>lnn+13（3e）n].

解析 （1）由[f（x）=ex-ax-1]得，[f（x）=ex-a].

又[f（0）=1-a=-1]，所以[a=2].

所以[f（x）=ex-2x-1]，[f（x）=ex-2].

由[f（x）=ex-2>0]得，[x>ln2].

所以函数[f（x）]在区间[（-∞，ln2）]上单调递减，在[（ln2，+∞）]上单调递增.

（2）证明：令[g（x）=ex-x2-1]，

则[g（0）=0， g（x）=ex-2x].

再令[h（x）=g（x）=ex-2x]，则[h（x）=ex-2].

则[h（x）]在[（0，ln2）]上单调递减，在[（ln2，+∞）]上单调递增.

故[h（x）min=h（ln2）=2-2ln2>0]，从而[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

又[g（0）=0]，所以当[x>0]时，[ex>x2+1].

（3）首先证明当[x>0]时，恒有[ex>13x3].

证明如下：令[K（x）=ex-13x3]，则[K（x）=ex-x2].

由（2）知，当[x>0]时，[ex>x2]，

所以[K（x）>0]，所以[K（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，

所以[K（x）>K（0）=1>0]，所以[ex>13x3].

所以[x>ln（13x3）]，即[x+ln3>3lnx].

依次取[x=21，32，…，n+1n]，代入上式，

则[21+ln3>3ln21]，

[32+ln3>3ln32]，

[…]

[n+1n+ln3>3lnn+1n].

以上各式相加得，

[21+32+…+n+1n+nln3>3ln（21×32×…×n+1n），]

所以[n+（1+12+13+…+1n）+nln3>3lnn+1]，

所以[1+12+13+…+1n>3lnn+1-nln3-n]，

即[1+12+13+…+1n>lnn+133nen].

解读 在不等式证明时，如能从题目信息中发现解题契机，通过分析、联想，巧妙构造函数，应用函数的单调性或极（最）值进行证明，不失为一种简捷的方法.

[练习]

1. 已知函数[f（x）=x-2+1， g（x）=kx]，若方程[f（x）][=g（x）]有两个不相等的实根，则实数[k]的取值范围是（ ）

A.[（0，12）] B.[（12，1）] C.[（1，2）] D.[（2，+∞）]

2. 设函数[fx=2x-a，? x<1，4x-ax-2a， x≥1.]

（1）若[a=1]，则[fx]的最小值；

（2）若[fx]恰有2个零点，则实数[a]的取值范围.

3. 如图，[A，B，C]三地有直道相通，[AB=5]千米，[AC=3]千米，[BC=4]千米.现甲、乙两警员同时从[A]地出发匀速前往[B]地，经过[t]小时，他们 之间的距离为[ft]（单位：千米）. 甲的路线是[AB]，速度为[5]千米/小时，乙的路线是[ACB]，速度为8千米/小时.乙到达[B]地后原地等待. 设[t=t1]时乙到达[C]地.

（1）求[t1]与[ft1]的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是[3]千米.当[t1≤t≤1]时，求[ft]的表达式，并判断[ft]在[t1，1]上得最大值是否超过[3]？说明理由.

4. 设函数[f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）].

（1）当[b=a24+1]时，求函数[f（x）]在[[-1，1]]上的最小值[g（a）]的表达式；

（2）已知函数[f（x）]在[[-1，1]]上存在零点，[0≤b-2a≤1]，求[b]的取值范围.

[参考答案]

1. B 2. （1）1 （2）[[12，1）?[2，+∞）]

3. （1）[t1=38] [f（t1）=3841]

（2）[f（t）]的最大值是[3841]，不超过[3].

4. （1）[g（a）=a24+a+2，a≤-2，1， -2