解读函数与不等式综合题

胡文

在高考数学中，函数与不等式的综合题是函数、方程、不等式、数列等内容的有机结合. 证明不等式的方法很多，但在处理函数与不等式的综合题时，运用常规办法往往难以奏效或过程繁琐，需另辟蹊径. 本文结合实例，通过充分利用函数性质来探求这类题型的解题策略.

等价转化后作差构造函数证明不等式

例1 设函数[f（x），g（x）]的定义域为[R]，且[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，[f（x）+g（x）=ex]，其中[e]为自然对数的底数.

（1）求[f（x），g（x）]的解析式，并证明：当[x>0]时，[f（x）>0]，[g（x）≥1]；

（2）设[a≤0，b≥1]，证明：当[x>0]时，[ag（x）+（1-a）分析 根据函数性质，不难得出（1）中[f（x）=ex-e-x2>0，g（x）=ex+e-x2>1]. 如果直接将[f（x）]，[g（x）]的解析式代入（2）中的不等式，再化简变形进行证明的话，就会非常繁琐. 我们注意到[x>0]，（2）所证不等式等价于[axg（x）+（1-a）x

又[f（x0）=ex0-2x0+2=0]，即[ln（x0+2）=-x0].

[∴f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0].

综上，当[m≤2]时，[f（x）>0].

解读 本题通过适当的放缩，转化为寻求当[m=2]时[f（x）]的最小值，利用最小值大于零从而达到证明不等式的目的. 与例2的区别在于，本题无法求出具体的最值点，而是首先验证极值点的存在性和惟一性，再说明此时极值点就是所求的最小值点，并充分利用极值点满足的方程来验证最小值大于零.

利用函数单调性证明不等式

例4 已知常数[a≥0]，函数[f（x）=ln（1+x）+a2x2-x，][x≥0，]

（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）设[n∈N*]，求证：[ln（n+1）分析 要证明（2）中[ln（n+1）