用洛必达法则求未定式极限的解题技巧

白云霞 马勇 乌兰 李彩艳

摘 要：本文总结了利用洛必达法则计算未定式极限应该注意的一些问题和解题技巧。

关键词：洛必达法则；极限；解题技巧

用洛必达法则求未定式极限，是微分学里面的一个重点，也是一个难点。如果只是肤浅地知道这一法则，盲目地使用，求出的极限未必正确。所以使用洛必达法则必须懂得它的使用条件以及应该注意的一些问题。如果在一个题目中使用洛必达法则之后，发现仍然是未定式极限，并且满足洛必达法则条件，可以再次使用洛必达法则。也就是说，洛必达法则在一个题目里可以多次使用。最后，洛必达法则是计算未定式极限的重要方法，但不是唯一的。不能使用洛必达法则的极限不一定就不存在，可利用别的方法求极限。本文对洛必达法则求未定式极限的解题技巧总结如下：

1.如果对于满足洛必达法则条件的或未定式，可直接使用。

例如：求极限

解：[][=]=1

2.如果对于0·∞未定式，一般要通过取倒数化为或未定式，然后利用洛必达法则求极限。

例如：求极限x（-arctanx）

解：x（-arctanx）[0·∞][=][·]===1

3.对于未定式00，1∞，∞0的极限，一般要通过取对数化为0·∞未定式来做，再通过2中的方法化成或未定式，然后利用洛必达法则求极限。

例如：求极限xsinx

解：xsinx[00][=]e=e[0·∞][=][·]e[][=]e=e=e=e0=1

4.对于∞-∞未定式的极限通过取倒数，化成-的形式，再通分化为或未定式，然后求极限。

例如：求极限（-）

解：（-）[∞-∞][=][][=]=-1

5.也有一些极限存在，但不能使用洛必达法则求解。

例如：求极限

解：[=][]，故极限不存在，这样的解法是错误的。

正确的解法：=（1+）=1+0=1

6.洛必达法则与等价无穷小代换相结合求极限。

例如：求极限（-）

解：（-）==[][=]

==·=

本文主要從以上几个方面探讨了利用罗必塔法则求未定式极限的解题技巧，旨在帮助学生在学习过程中避免盲目地套用公式，导致出现解题错误。

参考文献：

[1]刘金舜，羿旭明.高等数学[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[2]孙清华，郑小姣.高等数学[M].武汉：华中科技大学出版社，2004.

参与课题：参与“2013-2014年度内蒙古自治区高等学校公共课教学改革科学研究立项”课题。

作者简介：白云霞（1981— ），女，山西原平人，硕士，研究方向：概率论与数理统计。