Abel方程的偶等价性

毛妨妨，郭影影，周正新

(扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002)

Abel方程的偶等价性

毛妨妨，郭影影，周正新*

(扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002)

应用偶等价理论研究Abel方程之间的偶等价性，给出了Abel方程与其自治方程偶等价的若干充要条件，并应用所得结论探讨了Abel方程周期解的定性性态.

偶等价;Abel方程;周期解;定性性态

Mironenko［1］首次提出利用反射函数的方法将微分系统进行分类，在同一等价类中，只须讨论那些被称为最简单系统解的定性性态.目前，利用反射函数的方法［2-3］研究微分系统的等价性及其解的定性性态已取得了若干重要结果［4-7］.最近，Zhou等［8-9］研究了多项式微分方程之间的等价性，Belsky等［10-11］研究了Abel方程之间的等价性.鉴于反射函数的构造较为困难，Mironenko［12］提出了微分系统偶等价的概念，这样无须借助反射函数就可以得到非自治系统与自治系统偶等价的充要条件.本文主要应用偶等价的方法研究Abel方程之间的偶等价性.

1 预备知识

考虑微分系统

满足右端函数连续可微，且其初值问题存在唯一解.设

为变换函数，且满足条件:(i)X(t，x)连续可微;(ii)S(t，x)=S(－t，x);(iii)存在关于x的可微反函数 x=S－1(t，y).

定义1［12］35若存在变换函数(2)可将(1)转化为

则称微分系统(1)与(3)偶等价;若变换函数(2)又满足 S(0，x)=x且 ∂S(t，x)/∂x≠0，则系统(1)与其对应的自治系统x'=X(0，x)偶等价.

引理1［12］35系统(1)与自治系统x'=X(0，x)偶等价的充要条件为

2 主要结果

本文主要研究Abel方程

及其对应的自治方程

其中ai（t）（i＝0，1，2，3）为R上连续可微函数.

下面分两类情形证明方程（4）与（5）偶等价.首先，讨论a3o（t）≠0时方程（4）与（5）偶等价的情形，这里a3o（t）≠0是指在t＝0的某一去心邻域内a3o（t）≠0.

证明 充分性：假设条件（i）～（v）成立，由已知条件可验证引理1中（＊）式成立，故方程（4）与（5）偶等价.

必要性：若方程（4）与（5）偶等价，则由引理1知（＊）式成立.先将（4）式代入（＊）式，比较所得等式两边x同次幂的系数可得

由（10）式可得条件（ii）成立.再将（9），（10）式代入（8）式可得

再将条件（iii），（iv）代入（6）式，可得

联立（11）和（12）式，得

类似地，可证得以下2个定理.

讨论a3o（t）≡0时方程（4）与（5）偶等价的情形，可得如下定理.

由文献［12］35中定理4，易证如下定理.

定理5 若ai（t＋2ω）＝ai（t）（i＝0，1，2，3），且方程（4）与（5）偶等价，则

的解x＝η（t；ω，x0）为2ω周期解当且仅当下述初值问题

的解x＝γ（t；ω，y0）为2ω周期解，且初值问题（4′）的解x＝η（t；t0，x0）与初值问题（5′）的解x＝γ（t；t0，y0）稳定性相同.

下面举例说明上述定理的应用.

例1 验证 Abel方程x′＝（sint－2cost）x3＋（3sint－6cost）x2＋（3sint－6cost＋1）x＋（sint－2cost＋1）与其自治方程x′＝－2x3－6x2－5x－1偶等价，其中x∈R.

易见，上述 Abel方程中a3o（t）＝sint，a3e（t）＝－2cost，a2o（t）＝3sint，a2e（t）＝－6cost，a1o（t）＝3sint，a1e（t）＝－6cost＋1，a0o（t）＝sint，a0e（t）＝－2cost＋1，不难验证δ0（t）≡0，δ1（t）≡0，从而利用定理3可得上述Abel方程与其自治方程偶等价.

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Even equivalence of Abel equations

MAO Fangfang，GUO Yingying，ZHOU Zhengxin＊

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

This paper discusses the even equivalence of the Abel equations.Many necessary and sufficient conditions are established for the Abel equation which is equivalent to a given stationary equation.The obtained results are applied to discuss the qualitative behaviors of the periodic solutions of these equations.

even equivalence；Abel equation；periodic solution；qualitative behavior

O 175.12

A

1007-824X(2015)03-0004-04

2015-05-07.* 联系人，E-mail:zxzhou@yzu.edu.cn.

江苏省自然科学基金资助项目(BK2012682);国家自然科学基金资助项目(61374010).

毛妨妨，郭影影，周正新.Abel方程的偶等价性［J］.扬州大学学报(自然科学版)，2015，18(3):4-7.

（责任编辑 青 禾）