基于比例失效率退化模型的可靠性评估方法

蔡忠义，陈云翔，张诤敏，项华春

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安710051）

基于比例失效率退化模型的可靠性评估方法

蔡忠义，陈云翔，张诤敏，项华春

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安710051）

针对不假定寿命分布类型的长寿命可靠性评估问题，提出一种不同于传统基于退化轨迹和退化量分布的退化数据可靠性评估方法。将时间视为类加速因子并作为协变量，通过引入比例风险模型来描述产品寿命与退化量失效率之间的关系，建立比例失效率退化模型；通过考虑分布簇之间的差异度来确定退化量分布类型，求出退化量基准失效函数及比例失效率系数；采用线性回归模型拟合出类加速模型参数估计，确定已知检测时刻下的退化量失效率函数，并外推产品在退化失效阈值下的寿命可靠度函数；结合实例分析，验证方法的实用性和有效性。

退化数据；可靠性评估；比例风险模型；分布差异度；基准失效率

0 引 言

根据产品丧失功能的形式，失效可分为突发失效和退化失效两类［1－2］。其中，突发失效是指产品在某时刻功能突然丧失的现象，而退化失效是指产品在使用中功能逐渐下降，直至无法满足规定要求。对高可靠性产品而言，由于难以获取足够多的突发失效数据，使得传统基于突发失效数据的可靠性评估方法不再适用，而基于性能退化数据的可靠性评估方法却能很好地解决此类问题。

目前，传统的退化数据可靠性评估方法主要有两类［3－4］：一是基于退化轨迹曲线［5－6］。这类方法是在已知产品的退化失效物理模型的基础上，通过拟合性能退化数据随时间变化的轨迹曲线来估计可靠度，但对于退化轨迹复杂或不明的产品，其失效过程难以用特定的轨迹模型进行拟合，导致其评估误差较大。二是基于退化量分布［7－8］。这类方法是假设退化量服从某一已知的分布，通过拟合分布参数随时间变化的曲线来估计可靠度，由于对退化量分布的假定过于主观且在工程实际中很难确定退化量服从的具体分布模型，使其适用范围受到限制。

比例风险模型最初由学者Cox D R提出并应用于寿命数据分析，其优势是估计不需要依赖于所选的寿命分布［9］。学者Eghbali扩展了Cox的比例风险模型，提出一种融合加速退化因子的比例风险退化模型并用于处理加速退化数据［10－11］。基于加速退化数据的比例风险退化模型是一种非参数估计模型，以应力随时间的变化为协变量，建立比例风险加速退化模型，适用于分布规律未知的退化失效问题［12－13］。文献［14－15］将比例风险模型推广应用于非加速条件下性能退化数据的可靠性评估。其中，文献［14］以退化量为协变量，假定寿命基准失效率为λ0（t）＝abtb－1，实际是默认产品寿命服从威布尔分布，使得方法缺乏一般适用性。

基于上述考虑，本文针对性能退化参数仅有一个的一元退化失效问题，提出了一种不同于传统方法的非参数形式下退化数据可靠性评估方法，即不假定产品寿命分布类型，通过考虑分布簇之间的差异度来确定退化量分布类型，将不同检测时刻视为类加速因子并作为协变量，建立比例失效率退化模型。

1 预备知识

1.1 失效率

已知寿命T的可靠度函数为R（t），其密度函数为f（t），则寿命T的失效率函数（或称危险函数）表示为

则可靠度与失效率之间的关系式为

1.2 比例风险模型

已知协变量x下寿命T的可靠度函数为RT（t／x），其密度函数为fT（t／x），则给定x下的寿命T的失效率函数表示为

上式两边同时对t积分：

若失效率函数具有如下性质：当x1≠x2时，λ（t／x1）／λ（t／x2）与t无关，则认为寿命T与协变量x的关系适用于比例危险模型（proportional hazard model），可表示为

式中，λ0（t）可以理解为g（x）＝1下的基准失效率函数。当g（x）用参数形式表示时，即g（x）＝exp（xβ），则式（2）也称为COX模型。

2 比例失效率退化建模

2.1 模型假设

（1）产品失效只考虑性能退化失效且性能退化关键参数仅有一个，不考虑突发失效，表征产品性能降低的退化量Y（t）是时间t的单调函数。本文假定Y（t）是单调增函数，当退化量大于失效阈值yc时，判定产品失效。

（2）产品性能退化试验为平衡试验，即选择相同的检测时刻ti（i＝1，2，…，n）对m个试验产品的退化量进行检测，共得到n×m个退化数据yij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）。

（3）检测时刻ti的性能退化数据yi服从于某未知分布，即yi～F（yi，θi）且yiidij～F（yi，θi）（θi为未知参数）。

2.2 退化量分布与寿命分布之间的关系

已知产品的性能退化量为Y（t）＝h（t，θ）（θ为未知参数），则产品达到退化失效阈值yc的寿命T（yc）＝h－1（yc，θ）。记寿命变量T（yc）的分布函数为FT（t／yc），性能退化量Y（t）在t时刻的分布函数为FY（y／t）且Y（t）是t的增函数，可知

令yc为检测时刻ti的性能退化值yi（i＝1，2，…，n），则RT（t／yi）＝FY（yi／t）。

2.3 考虑分布差异度的退化量分布确定

对于产品退化量分布模型确定，一般是根据工程实践经验，确定其可能服从的某一分布，如正态分布、威布尔分布、对数正态分布、伽玛分布等。为了充分利用产品性能退化信息，提高退化量分布模型确定的科学性，采用Kullback-Leibler差异来对各可能分布模型之间的差异程度进行度量［8］。

设产品各种可能分布函数组成分布簇Gθ（θ＝（θ1，…，θk）∈Θ）（k为所有可能的分布模型数），确定产品退化量分布函数就是从分布簇Gθ中选择与其实际退化量分布函数差异最小的分布函数。检测时刻ti拟选择的分布函数与该时刻的实际退化量分布函数F（yi，θi）之间的差异程度Δi［Gθ，F（yi，θi）］可表示为

式中，yij为检测时刻ti上第j个产品退化数据；f（yi，＾θi）为检测时刻ti上分布模型G＾θ的概率密度函数，＾θi为用检测时刻ti上的退化数据所得的分布参数估计。

（1）退化数据yi服从正态分布时，其概率密度为

（2）退化数据yi服从对数正态分布时，其概率密度为

（3）退化数据yi服从威布尔分布（Weibull）时，其概率密度函数为

（4）退化数据yi服从伽玛分布（Gamma）时，其概率密度函数为

对上述4种分布参数进行估计时，可调用Matlab中的极大似然估计（maximum likelihood estimation，MLE）方法进行求解。计算出检测时刻ti上各分布模型的差异程度后，选取差异程度最小所对应的分布作为时刻ti的退化量模型，从而求解出各检测时刻ti上退化量失效率值。

产品在工作一段时间后出现性能退化现象，通常是由多种物理或化学失效模式共同影响的结果，而且退化影响机理会随着时间的推移而发生变化。因此，不能仅用一种特定的寿命分布（如正态分布）类型来一概表示产品整个退化失效过程，而应该根据不同时刻收集到的性能退化数据进行分布拟合检验，选择分布差异度最小的分布类型来描述该时刻的产品退化失效趋势，这样更符合工程实践和经验认识。

2.4 比例失效率退化模型

现以检测时刻为协变量，将产品各检测时刻上性能退化数据引入比例危险模型，并推广为比例危险退化模型（proportional hazard degradation model），从而来描述产品寿命与性能退化失效率之间的关系。

设各检测时刻ti（i＝1，2，…，n）构成给定的单因素协变量t，在协变量t下产品性能退化量的可靠度函数为R（y／t），密度函数为f（y／t），则产品退化量失效率函数可表示为

式中，λ0（y0）为选定的基准时刻t0上退化失效率函数；g（t）为与协变量t有关的函数。

由于不同检测时刻上收集到的性能退化数据类似于突发失效下的加速寿命数据，可将时间t类比为一种加速因子，从而建立比例失效率退化模型，即

式中，p（t）为类加速模型。

令为时刻t上退化失效率函数），称k为时刻t相对于基准时刻t0的退化失效比例系数，则p（t）可用时间与退化失效比例系数之间的函数关系表示如下：

经退化数据结构分析，［t，ln k］之间采用线性回归模型较为适用，则式（7）转变为

3 寿命可靠度

3.1 寿命可靠度函数

由式（1）和式（6）可得基于比例失效率退化模型的产品退化量可靠度函数为

说明：上式成立的必要条件是基准失效率函数λ0（u）是可积函数。若λ0（u）不可积，则可以依据所计算出各时刻上的退化量失效率离散值，绘制出产品退化失效率曲线，采用可积的回归模型（如二项式）进行拟合，得到的函数表达式~λ0（u）可近似作为基准失效率函数［15］。

令y为退化失效阈值yc，由式（3）可得产品退化失效的寿命可靠度函数为

3.2 参数估计

（1）选定基准时刻t0

根据各检测时刻所确定的分布模型情况，选定同一类分布较为集中的时刻为基准时刻t0，并以该时刻上的退化量失效率函数作为基准失效率函数λ0（y0）。

（2）类加速模型参数β1，β2

确定各检测时刻产品退化量分布模型后，计算出各检测时刻ti上第j个产品的退化失效率λ（yij／ti），则检测时刻ti相对于基准时刻t0的退化失效比例系数ki估计为

由式（8）知，参数β1，β2估计可由［ti，ln＾ki］拟合求出。

4 实例分析

引用文献［5］的某型激光器退化数据进行分析处理，每隔500h抽取退化数据构成样本数据（见表1），并与文献［6，8，15］采用的方法所得到的结果进行比较分析。当产品电流增加值达到额定值的10%时就认为产品失效，绘制各样本的性能退化轨迹（见图1），具体评估过程如下。

表1 某型激光器性能退化样本数据

图1 产品性能退化轨迹

（1）确定各检测时刻的退化量分布模型。假设可能的退化分布簇包括：正态分布、对数正态分布、威布尔分布和伽玛分布。根据各检测时刻上的产品退化数据，运用Matlab软件计算各时刻可能分布模型之间的差异度（见表2），则500h时刻的退化量分布模型是伽玛分布，1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 000h时刻的退化量分布模型是威布尔分布，3 500h、4 000h时刻的退化量分布模型是对数正态分布。

表2 分布簇之间的差异度

（2）根据各检测时刻上所确定的分布模型，计算出各时刻的样本退化量失效率的离散值，绘制退化失效率的轨迹曲线（见图2）。

由图2可见，各检测时刻上退化失效率曲线在退化数值上呈现出一定比例关系，且随着时刻ti的增大，退化失效率曲线的比例（类似斜率）逐渐减小，适用于比例失效率退化模型。

（3）确定基准失效率及比例系数

由于1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 000h时刻上的退化量分布模型都是威布尔分布，同一类分布较为集中，可选取t0＝3 000h为基准时刻，将其退化失效率函数作为基准失效率函数λ0（y）。由MLE方法可得其参数点估计且此时该函数可积，则λ0（y）可表示为

由式（11）计算出，ti＝500h、1 000h、1 500h、2 000h、2 500h、3 500h、4 000h相对于基准时刻t0＝3 000h的比例系数分别为＾ki＝5.162，2.825，2.053，1.465，1.181，0.809 2，0.726 6。

（4）确定产品寿命可靠度

（5）不同方法对比分析

根据产品的寿命可靠度函数以及文献［6，8，15］中的方法所得到的寿命可靠性函数，绘制各方法下的产品寿命可靠度曲线（见图3）。

图3 不同方法下产品可靠度曲线

由图3可见，本文方法得出的产品可靠度曲线在与文献［6，15］所得的可靠度曲线在（5 180h、0.187 7）处交汇。在交汇点之前，本文方法所得的可靠度曲线略低于其他曲线，评估结果略显保守；在交汇点之后，本文方法所得的可靠度曲线与文献［15］所得的可靠度曲线基本吻合，都处于文献［6，8］所得曲线之间。对于高可靠性产品而言，工程技术更关注产品在高可靠度下的可靠寿命，本文方法得出略显保守的可靠度评估结果符合工程上对产品寿命的要求。因此，在处理非加速条件下的性能退化数据时，本文方法具有所需样本数据少，模型假设条件少，评估结果客观真实等优点，具有良好的适应能力和工程应用价值。

5 结 论

从退化失效角度进行退化数据可靠性建模，可以有效解决高可靠长寿命产品可靠性评估问题。比例风险模型是一种基于基准失效率函数的建模方法，通过非参数统计法获取产品的可靠度。本文引入比例风险模型，建立了不同于传统基于退化轨迹和基于退化量分布的退化数据可靠性评估模型，即不假定产品寿命分布类型，将时间视为类加速因子并作为协变量，建立比例失效率退化模型，通过考虑分布簇之间的差异度来确定退化量分布类型，计算出各时刻退化量失效率，求出基准退化量失效函数，实现了对退化失效数据的可靠性评估。结合实例表明，本方法对求解产品退化量失效率呈比例变化的退化失效问题是科学有效的，具有较好的应用价值。

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Method on reliability assessment based on proportional failure rate degradation model

CAI Zhong－yi，CHEN Yun-xiang，ZHANG Zheng-min，XIANG Hua-chun
（Equipment Management ＆Safety Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of long-lifetime reliability assessment in the assumption of unknown life distribution，a new method on reliability assessment for degradation data is proposed，which is different from the traditional method based on the degradation path and degradation measure distribution.Time is treated as a similar-accelerated factor and used as a covariate.The relationship between the lifetime and the degradation failure rate of the product is described by the proportional hazard model and the proportional rate model is built.The degradation distribution is determined through the divergence of the distribution set，and the degradation basic failure rate function and its proportional rate coefficient are obtained.The linear regression model is used to evaluate the parameters of the similar-accelerated model，and the degradation failure rate function in certain detection time points is determined.The lifetime reliability function of the product under the predetermined degradation failure threshold is obtained.An example is provided to demonstrate the validity of the proposed method.

degradation data；reliability assessment；proportional hazard model；distribution divergence；basic failure rate

TB 114.3

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.34

蔡忠义（1988－），男，博士研究生，主要研究方向为装备可靠性与系统工程。

E-mail：afeuczy＠163.com

陈云翔（1962－），男，教授，博士，主要研究方向为装备发展论证、装备维修保障。

E-mail：cyx87793＠163.com

张诤敏（1964－），女，教授，硕士，主要研究方向为装备系统工程。

E-mail：646297491＠qq.com

项华春（1980－），男，副教授，博士，主要研究方向为装备可靠性与系统工程。

E-mail：xhc09260926＠163.com

1001－506X201508－1943－05

网址：www.sys－ele.com

2014－11－03；

2014－12－19；网络优先出版日期：2015－03－17。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150317.1127.009.html

总装“十二五”国防预先研究项目资助课题