完全保持不同因子交换性的映射

刘艳晓，黄丽

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

完全保持不同因子交换性的映射

刘艳晓，黄丽

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

刻画了实或复的无限维Banch空间上的标准算子代数间完全保持不同因子交换性的一般映射，证明了这样的映射是同构的常数倍或(复的情形下)共轭同构的常数倍。

标准算子代数;完全保持问题;不同因子交换;同构

1 概述

算子之间的交换关系在数学领域中占有很重要的地位，并且在量子力学的可观测量及其谱分析中有重要的应用。因而这种关系在数学领域中被广泛而深入的研究，与之相关的一个概念是两个算子按照因子的交换性。对任意的A，B∈A，若对于某个非零数ξ，AB=ξBA成立，则算子A和B被称为是因子交换的。设A，B是两个代数，Φ∶A→B为一个映射，ξ，η∈F{0}，若对任意的A，B∈A，AB= ξBA⇔Φ(A)Φ(B)=ηΦ(B)Φ(A)，则我们说Φ是双边保持不同因子交换的。算子代数或者算子空间上保持因子交换的映射的刻画问题一直备受关注，而且人们已经获得了许多深刻的结果［1-3］。

而完全保持问题对于标准算子代数的代数结构具有很强的刚性约束，能更恰切地反映同态映射的本质。文献［4-9］是近年来完全保持问题的一些研究成果，这些结果表明可逆性，谱函数，幂等元以及平方零元，斜幂等元，交换性及Jordan零积等都是同构或者共轭同构。无疑，对该问题的深入研究有望加深对算子空间算子代数理论的理解，特别是对它们之间内在联系的理解提供新的途径。受以上这些文章的启发，我们考虑标准算子代数上完全保持不同因子交换性的一般映射的刻画问题。事实上，我们在文献［8］中已经对ξ=η=±1时的情形进行了刻画，并且得到交换性及Jordan零积都是同构或者共轭同构。因此，本文我们主要讨论ξ，η∈F{0，1}时，标准算子代数上关于不同因子ξ，η双边完全保持交换性的满射的刻画问题。

令X，Y是实或复数域上的无限维的Banach空间，B(X)中包含所有有限秩算子和单位算子的闭子代数称为X上的标准算子代数。P和I1(X)分别表示B(X)上的所有幂等元集合和秩一幂等元集合。对任意的P，Q∈P，如果PQ=QP=Q，则记作Q≤P.X*表示X的对偶空间，对任意的x∈X，f∈X*，x⊗f表示由y→(y，f)x定义的一秩算子。令A，B分别是X和Y上的标准算子代数，对每个正整数n，我们定义Φn∶A⊗Mn(F)→B⊗Mn(F)为Φn((Sij)n×n)→(Φ(Sij))n×n，则如果Φn保不同因子交换性，称Φ是n-保不同因子交换性的;如果对于每个正整数n，Φ是n-保不同因子交换性的，则称Φ是完全保不同因子交换性的。本文主要考虑B(X)上完全保持不同因子交换性满射的具体形式。

2 主要结果和证明

定理令X，Y是实或复数域F上的无限维Banach空间，A，B分别是X和Y上的标准算子代数，令Φ∶A→B是一个满射，则下列陈述等价:

(1)Φ是双边完全保不同因子交换性的映射；(2)Φ是双边2-保不同因子交换性的映射；(3)存在有界可逆线性或(复情形)共轭线性算子A∶X→Y使得:

证明:(3)⇒(1)⇒(2)是显然的，只需证明(2)⇒(3).

下面假设Φ是双边2-保不同因子交换性的映射。

断言1Φ是单射。

对任意的T，S∈A，假设Φ(T)=Φ(S)，有:

将上式中的Φ(T)用Φ(S)代替，得到:

由Φ2是双边保持不同因子交换的，得到:

此蕴含着T=S.这样，就证明了Φ是单射，因此是A到B的双射。

断言2Φ(0)=0，Φ(I)=cI对某一非零数c成立。

对任意的T∈A，我们有:

将Φ2应用于上面的等式中，得到:

因为η≠1，所以由式(2)式得到Φ(0)2=0.由Φ的满射性，存在某个T0∈A使得Φ(T0)=I.在式(1)中，令T=T0，得到(1-η)Φ(0)=0，此蕴含着Φ(0)=0.

下面证明Φ(I)=cI，对某一非零数c成立。

对任意的T∈A，

将Φ2应用于上面的等式中，有:

同样，由Φ的满射性，存在某个T0∈A使得Φ(T0)=I.在式(3)中，令T=T0，得到(1-η)［Φ(I)+Φ(-I)］=0，此蕴含着

将式(4)带入式(3)，得到Φ(I)Φ(T)= Φ(T)Φ(I).由Φ的单射性，Φ(I)与B中的每一个算子可交换。因此，存在非零数c∈F使得Φ(I)=cI.如果必要的话，用c-1Φ来替换Φ，显然c-1Φ仍然是双边2-保不同因子交换性的，故而在后面一直假设Φ(I)=I.

在证明Φ双边保幂等元之前，先证明Φ(-T)= -Φ(T).

这蕴含着Φ双边保幂等元。

接下来，将证明Φ双边保秩一幂等元。

由于Φ2双边保不同因子交换性，从而

因此Φ在幂等元集上双边保序，Φ双边保秩一幂等元。

断言4存在有界可逆线性或(复情形)共轭线性算子A∶X→Y使得Φ(P)=APA-1对于任意的P∈I1(X)都成立。

由于对于任意的P，Q∈I1(X)，

由于Φ2双边保不同因子交换性，故有PQ= 0⇔Φ(P)Φ(Q)=0，即，Φ是I1(X)上双边保零积的双射。由文献［10］可得，存在有界可逆线性或(复情形)共轭线性算子A∶X→Y使得Φ(P)= APA-1，对任意的P∈I1(X)成立。令Ψ∶A→A-1AA是由Ψ(·)=A-1Φ(·)A定义的双射，则有Ψ(P)= A-1Φ(P)A=P对于每个P∈I1(X)都成立。显然，Ψ2也是双边保不同因子交换性的映射。不失一般性，以下可以假设Φ(P)=P，其中P∈I1(X).

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断言5Φ(x⊗f)=λx⊗f(x⊗f)对于任意的秩一算子x⊗f成立，其中λx⊗f∈F{0}.

对于任意的秩一算子x⊗f，我们可以找到y∈X，h∈X*使得＜y，h＞=1，则有

将Φ2应用于上述等式，得到h∈(ranΦ(x⊗f))⊥，y∈ker(Φ(x⊗f)).因此h∈(ran(Φ(x⊗f)))⊥⇔h∈{x}⊥，y∈ker(Φ(x⊗f))⇔y∈kerf.所以，对于某个λx⊗f∈F{0}，得到Φ(x⊗f)= λx⊗f(x⊗f).

断言6存在映射h∶A→F{0}使Φ(T)= h(T)T得对任意的T∈A成立。

对任意的T，S∈A，

将Φ2应用于上式，可得:

对任意的秩一算子x⊗f，在等式(5)中，令S= x⊗f，得到λTST(x⊗f)Φ(T)=λSTΦ(T)(x⊗f)T，即，λTS(Tx⊗Φ(T)*f)=λST(Φ(T)x⊗T*f).由此对于任意的x∈X，Φ(T)x和Tx是线性相关的。因此，存在某个非零数λT使得Φ(T)=λTT成立。我们定义如下一个泛函h(·)∶A→F{0}，h(0)=1;若T≠0，h(T)=λT，从而Φ(T)=h(T)T，∀T∈A.

断言7对任意的T∈A，h(T)=1.因此Φ(T)=T，对任意的T∈A成立。

因为Φ是单射且Φ(I)=I，所以有h(I)=1= h(0).而且，对任意的P∈P，有Φ(P)=P，因此h(P)=1.

下面，证明h(x⊗f)=1，对任意的秩一算子x⊗f成立。

由式(6)，对任意的T，S∈A满足(TS)2≠0，我们有(h(TS))2=h(T)h(STS).对任意的x∈X，f∈X*，存在y∈X使得x，y线性无关且＜y，f＞=1.我们可以找到g1，g2∈X*，使得＜x，g1＞=1，＜y，g1＞=0，＜x，g2＞=0，＜y，g2＞=1.令g=g1+ g2，则有＜x，g＞=1，＜y，g＞=1.令T=x⊗f，S=y⊗g，其中T，S满足(TS)2≠0，则有(h(x⊗g))2=h(x⊗f)h(y⊗g).因此，h(x⊗f)=1.

对任意的T∈A{0}，存在x∈X，f∈X*使得＜Tx，f＞≠0，则1=(h(T(x⊗f)))2=h(T)h((x⊗f)T(x⊗f))=h(T).这样就完成了(2)⇒(3)的证明。

对于有限维的情形，我们有如下结果，省略了它的证明。

命题令Φ∶Mn(F)→Mn(F)(n＞2)是一个满射，则下列陈述等价:

(1)Φ双边完全保不同因子交换性;

(2)Φ双边2-保不同因子交换性;

(3)存在一个可逆矩阵A∈Mn(F)，非零数c和一个自同构τ∶F→F使得:

对于任意的T∈Mn(F)成立。这里，对于T= (tij)，Tτ=(τ(tij)).

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Maps Completely Preserving Commutativity up to a Factor on Standard Operator Algebras

LIU Yan-xiao，HUANG li
(Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

This paper gives a characterization of surjections between A and B which completely preserves commutativity up to a factor in both directions，which shows that every map completely preserving commutativity up to a factor from A onto B is a scalar multiple of either an isomorphism or(in the complex case)a conjugate isomorphism.

standard operator algebras，completely preserver problems，commutativity up to a factor，isomorphisms

O177.1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.016

1673-2057(2015)03-0237-04

2014-12-22

刘艳晓(1990-)，女，硕士研究生，主要研究方向为图论及泛函分析。