提升钢丝绳的纵向振动特性研究

王则，赵子龙，杨晓辉

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

提升钢丝绳的纵向振动特性研究

王则，赵子龙，杨晓辉

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

以矿井提升钢丝绳为研究对象，将钢丝绳视为轴向受力和轴向运动的变长度柔索，应用哈密顿原理建立了变长度提升钢丝绳纵向振动的偏微分方程。利用伽辽金离散化方法将偏微分方程转化为具有时变系数的常微分方程。最后，选取矿井提升常用的S型运行状态曲线作为输入参数，对所建立的模型进行仿真和数值求解。研究结果表明，分布参数建模能更有效地反映提升钢丝绳的纵向振动特性，并揭示了提升系统振动加剧的现象。

纵向振动;钢丝绳;变长度;哈密顿原理

钢丝绳提升系统广泛应用在矿机提升机、起重机等工程设备中。Wang等［1-4］将矿井提升钢丝绳看做离散的质量-阻尼-弹簧系统，研究了矿井提升系统在提升过程的动态响应问题。Kimura及杜小强等［5-6］研究了钢丝绳在提升过程中质量、阻尼和刚度等参数变化的问题。Zhu等［7-8］人研究了末端附加集中质量轴向运动弦线的横向振动响应和横向振动稳定性的问题，并建立了变长度水平弦线运动的能量表达式和横向振动微分方程。王亮等［9］建立了变长度柔性梁的横向振动控制方程，并进行了实验分析和主动控制研究。然而，在针对矿井提升系统纵向振动的建模大多采用的还是离散化建模的方法，这种建模方法简单易于计算，也可以满足大多数低速矿井提升机设计的精度要求，但是由于钢丝绳属于连续弹性体，当提升系统的高度和速度增加之后，提升过程中系统的质量、长度、和刚度等参数发生明显变化，离散化的建模方法将不能反映连续体所特有的动态性能。本文将提升系统钢丝绳看作变长度运动的柔索，基于广义哈密顿原理建立了变长度提升钢丝绳的纵向振动方程，并使用伽辽金离散法和数值方法对其求解。最终得到系统的响应曲线，为变长度提升系统设计提供理论依据。

1 提升系统的纵向振动模型

本文的建模基于以下三项假设:

(1)钢丝绳在运行过程中线密度、横截面积和弹性模量保持不变;

(2)不考虑钢丝绳的横向振动，且纵向振动的变形远小于钢丝绳的长度;

(3)忽略钢丝绳弯曲刚度的影响。

将提升系统简化为一端附加有集中质量m的变长度纵向运动的柔索。如图1所示，柔索单位长度质量为ρ，横截面积为A，弹性模量为E，在运动过程中柔索长度为l(t)，柔索在x(t)处的纵向振动位移为u(x，t)，柔索速度为v(x，t)，柔索的加速度为a(x，t)，:v=且柔索和容器的宏观运行速度满足(t).上标“·”表示对时间t求导。选取坐标向下为正。

系统动能为:

图1 矿井提升系统Fig.1 Mining hoisting system

式中m为容器质量，第一项为容器动能，第二项为钢丝绳动能。

系统势能为:

下标x表示对坐标x的偏导数。式中第一项为系统静平衡时的势能，第二项为轴向引起的广义势能，第三项为钢丝绳弹性势能。P(x，t)为柔索静平衡状态下的轴向静张力:

系统重力势能为:

式中，g为重力加速度，Egs为初始重力势能，u(l，t)为容器的纵向振动位移。

将式(1)、式(2)和式(4)带入广义哈密顿原理:

并应用时间边界条件和几何边界条件:

由于δu为独立变分，故有:

式(5)和式(6)分别是钢丝绳的振动方程和在x=l(t)处的边界条件方程。

2 离散化求解

由于钢丝绳振动的控制方程是偏微分方程，并且边界方程中的一些参数是时变的，所以解析法求解十分困难。本文采用广义伽辽金离散化的方法将钢丝绳的振动方程离散为常微分方程，再通过数值方法求解。为方便计算，首先定义一个新独立变量ξ，对原变量归一化处理，即ξ=x/l(t).x的时变域变成了ξ的固定域［0，1］.假设方程(5)的解可以表示成如下形式。

式中，qi(t)为广义坐标，φi(ξ)为模态函数:

将式(8)带入振动方程(5)和边界条件(6)，再乘以(1/)φj(x/l(t))(j=1，2，…，n)，并对x在［0，l(t)］内积分，原来的偏微分方程组离散为:

式中，q=［q1(t)，q2(t)，…，qn(t)］T，为广义坐标向量，M、C、K和F分别为广义质量、阻尼、刚度和激励力矢量，其中各元素分别为:

3 算例分析

以矿井钢丝绳提升系统为例，各参数选为:

图2 提升系统速度运行曲线Fig.2 Speed curves of hoisting system

钢丝绳弹性模量E=100 GPa，横截面积A= 701.6 mm2，线密度ρ=6.63 kg/m，容器质量m= 6 000 kg，在井口时钢丝绳的悬垂长度30 m.

运行过程的速度采取S型提升曲线，如图2所示。将上述参数带入方程(9)进行数值计算，得容器的振动位移、容器的振动加速度和钢丝绳顶部的张力的变化曲线。图3为提升系统的提升时系统的动态特性，图4为下降时系统的动态特性。由图3知，相对于在匀速提升阶段，在加速阶段，系统的响应振动幅值和钢丝绳顶部的张力明显增加。

由图4知，相对于在匀速下降阶段，在制动阶段系统的振动幅值和钢丝绳顶部的张力明显增加。

比较图3和图4可知:钢丝绳在上升过程中容器的振动位移、振动加速度和钢丝绳顶部张力的波动幅值明显比下降过程容器的振动位移和振动加速度和钢丝绳顶部张力波动幅值大，当采用不同参数输入时，结果类似。

当拽引机停止后，系统存在残余振动。

图3 提升过程系统的动态特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system on rising process

图4 下降过程系统的动态特性Fig.4 The dynamic characteristics of the system during falling process

4 结论

(1)提升过程中:容器振动位移幅值最大达到0.04 m，容器的波动幅值最大达到0.003 m;容器振动加速度最大为0.18 m/s2，最大波动幅值为0.09 m/s2;钢丝绳顶部的张力最大为88 kN，比相应静止时张力增加了10%，钢丝绳顶部张力波动的幅值最大为7 kN.

(2)在下降过程中:容器振动位移幅值最大达到0.38 m，容器的波动幅值不明显;容器振动加速度最大为0.11 m/s2，最大波动幅值为0.002 m/s2;钢丝绳顶部的张力最大为88 kN，比相应静止时张力增加了10%，钢丝绳顶部张力波动的幅值不明显。

(3)在提升过程中的加速阶段和在下降过程中的制动阶段，系统的振动强度明显增加，这种往复振动的特性将加剧钢丝绳的磨损，导致钢丝绳的疲劳。

(4)本文的建模和分析方法可为进一步研究矿井提升系统的振动特性提供了一定的参考价值。

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［3］ROBERTS R.Control of high-rise/high-speed elevator［C］∥ASME.Proceeding of American Control Conference，1998: 3440-3444.

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［8］ZHU W D，NI J，HUANG J.Active control of translating media with arbitrarily varying length［J］.Journal of Vibration and A-coustics，2001，123(7):347-358.

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Study on Longitudinal Vibration Characteristics of Hoisting Rope

WANG Ze，ZHAO Zi-long，YANG Xiao-hui
(College of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Aiming at mine hoisting rope，the wire rope was viewed as soft rope under the axial force and the axial movement.The partial differential equation of longitudinal vibration of hoisting ropes was set up based on Hamilton' s principle.The partial differential equations was turned into ordinary differential equations with time-varying coefficients by using Galerkin discrete method.Finally，selecting S-type running state curve as input parameters，the proposed model was solved and emulated.Research results show that the distributed parameter model can reflect effectively the longitudinal vibration of hoisting ropes，and can reveal the phenomenon of vibration increase.

longitudinal vibration，rope，time-varying length，hamliton principle

TD50

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.017

1673-2057(2015)03-0241-04

2014-12-08

国家自然科学基金(11372207);山西省自然科学基金(2013011005-3)

王则(1988-)，男，硕士研究生，主要研究方向为材料与结构的动力学行为。