带有白噪声干扰的单种群对称扩散模型∗

王新兵,张龙,谢秋霞

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

由于生物体与环境之间的相互作用对生态系统的稳定性至关重要,而扩散因素对种群的生存能力有很大的影响.因此扩散对系统平衡态的影响引起了众多学者的关注.Levin在1974年首先提出斑块环境下的种群动力学模型,并研究了扩散对种群持续生存和灭绝的影响.对于单种群扩散系统:

其中xi(i=1,···,n)表示i斑块上种群的数量,ai(t)和bi(t)都是正的周期函数,Allen[1]研究了该系统的持久性和灭绝性;令n=2,在假设条件下,Mahbuba和Chen[2]证明了系统(1)有一个全局稳定的正周期解;在假设ai(t)和bi(t)都是连续正的有界函数,Dij(i=1,2)是连续正的有界函数的条件下,Wang和Chen[3]进一步研究了系统(1)解的稳定性.注意到[2,3]是在合适的环境下研究系统(1)的,然而在现实世界生物的生长过程中,各种各样的随机因素的干扰会时刻、不同程度的影响到生物生长的各个方面.虽然使用确定性的数学模型也得到了一些很好的结果,然而在某些情况下,如保护濒危物种、研究生物的灭绝性时,由于样本空间太小,忽视随机因素的作用可能会产生较大的偏差,这时使用随机模型来分析物种的行为和实际情况符合的更好一些.现在对系统(1)中的扩散率进行随机干扰,假定分量Dij被干扰后变为

其中B(t)是纯量布朗运动,σij是一个代表白噪声干扰强度的常数.这样系统(1)变为如下形式:

其中ai(t),bi(t)是周期函数,Dij是正常数.通过构造适当的Lyapunov函数,得到了系统解的全局正性,并进一步证明了系统(3)的解在一定条件下是随机最终有界的和灭绝的.

1 主要结果

在本节中,为了证明接下来的结论,首先给出如下定义.

定义1系统(3)被称为是随机最终有界的,如果对于任意的ε∈(0,1),存在常数δ=δε,使得系统的任意解都有性质

定义2系统（3）被称为是平均灭绝的,如果对于任意的初值总存在常数H,使得系统的任意解都有如下性质

在本文中,给出如下重要假设.

假设H对于任意的1≤i≤n,σii>0;对于1≤i,j≤n,且i6=j,σij≥0.

定理1对于任意的初值X(0)=X0∈,系统存在唯一解X(t)在t≥0上有定义,并且该解以概率1停留在中.

证明因为方程的系数是满足局部Lipschitz连续的,从而对任意的初始值X(0)=X0∈Rn+,系统在t∈[0,ρe)上存在唯一局部最大解X(t),其中ρe为爆发时刻,为了证明解是全局的,需证明ρe=∞几乎处处.令k0充分大,使得X0的每一个分量都不大于k0,则对于任意的k∈Z,且k≥k0,定义停时:

因此存在一个整数k1≥k0,使得

对任意的k≥k1成立.定义一个函数V:Rn+→R+如下:

由推广的Itˆo公式得:

其中

因此

对(8)式在[0,T∧ρk)上积分并取期望,得:

令Ωk={ρk≤T},此处k≥k1.由式(5)知P{Ωk}≥ε,结合式(9)就得到

令k→∞导致∞≥V(X0)+MT=∞这个矛盾意味着ρ∞=∞.

定理2设假设H成立,则对于任意的ε∈(0,1),存在常数δ=δε,使得系统的任意解都有性质

证明定义

由推广的Itˆo公式得到

其中

其中η是一个正常数.由此可以得到

从而

另一方面有

由(13)和(14)可以得到

从而

对任意的ε∈(0,1),只需取δ=(η/ε)1/2,则由Chebyshew 不等式得到:

定理的结论得证.

注1Cui和Chen(2001)证明了系统(1)是最终有界的.定理2指出,模型(1)的随机化系统(3)仍保留了这个优良性质.

定理3如果存在θ∈(0,1)使得

成立，并且

成立,则对于任意的初值X(0)=X0∈Rn+,系统(3)的解X(t)是平均灭绝的.

证明定义

由推广的Itˆo公式得到

其中

因此结合式(18)和式(19)可以得到:

从而

对上式两边同除以V(x),积分并求期望得:

又由于

这样

从而

不妨取θ=1/2,则对任意的†>0,由Chebyshev’s inequality知

由此可以得到:

注2定理3说明,当随机干扰强度足够大,甚至大于确定性模型中的扩散率时,将导致种群以概率1平均灭绝.

参考文献：

[1]Allen L J S.Persistence and extinction in single species reaction diffusion models[J].Bull Math Biol,1983,45:209-227.

[2]Mahbuba R,Chen L.On the nonautonomous Lotka-Volterra competition system with diffusion[J].Di ffEqua Dyn Syst.1994,2(3):243-253.

[3]Wang W,Chen L.Global stability of a population dispersal in a two-patch environment[J].Dyn Syst Appl,1997,6:207-216.

[4]王克.随机生物数学模型[M].北京:科学出版社,2010.

[5]Liu Z,Zhong S.n Species impulsive migration model with Markovian switching[J].J Theo Biol,2012,307:62-69.

[6]Liu M,Wang K.Persistence and extinction in stochastic non-autonomous logistic systems[J].J Math Anal Appl.2011,375:443-457.

[7]Mao X.Stochastic Differential Equations with Markovian Switching[M].London:Imperial College Press.2006.

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[10]Cui J,Chen L.Permanence and extinction in logistic and Lotka-Volterra systems with diffusion[J].J Math Anal Appl,2001,258:512-535.