具有非倍测度的参数型Marcinkiewicz积分交换子在Hardy空间的估计∗

程纪,逯光辉,周疆

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

设µ是定义在Rd上的正Radon测度且满足下面的增长条件:对于所有的x∈Rd,r>0,都有

其中C0,n是正数且00,满足µ(B(x,2r))≤Cµ(B(x,r)),则称µ是倍测度.近年来,对于Marcinkiewicz积分交换子在Lebesgue空间,Morrey空间以及Hardy空间的研究,得到了很多结果[1−5].受此启发,本文主要讨论参数型Marcinkiewicz积分交换子在Hardy空间的有界性.

设K(x,y)是定义在Rd×Rd{(x,y):x=y}上的局部可积函数且满足下列条件:存在常数C>0,使得对所有的x,y∈Rd且x6=y有

以及对任意的x,y0∈Rd,有

定义关于上述K(x,y)的参数型Marcinkiewicz积分算子为

定义1如果函数满足下列条件

则称f∈Lipβ(0<β<1).

定义2设函数b∈Lipβ(µ)(0<β<1),定义相应的参数型Marcinkiewicz积分交换子

定义3设0

(1) 存在x0∈Rd以及r>0,使得suppa⊂B(x0,r),

(3) 当|γ|≤s时,有

定义4原子Hardy空间的定义为

定义5对0<α<∞,定义与非倍测度µ相关的分数次积分Iα为

Garc´ıa-Cuerva和Gatto对Iα进行了研究并得到[7]:

引理1假定0<α0,使得对所有的λ>0和具有紧支集的函数f∈L∞(µ),有

引理2设0

其中下确界取遍f的所有原子分解.

引理3设核函数K(x,y)满足(2)-(3),Mρb为(6)式所定义的参数型Marcinkiewicz积分交换子,

那么是从Lp(µ)到Lq(µ)上的有界算子.

注记1引用引理1,很容易验证引理3的结论,这里略去证明过程.

全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方可能不尽相同.对任意µ可测集合E,χE表示其特征函数.对于固定的p满足1≤p<∞,p0表示p的共轭指数,即

1 主要结果和证明

首先给出本文的主要定理:

定理1设K(x,y)满足(2)和(3),为(6)式中定义的参数型Marcinkiewic积分交换子.假设Mρ在L2(µ)上有界,则对≤1以及f∈Hq.有

证明设a(x)是一个(p,2,0)原子,即a(x)满足0. 则存在与a无关的常数C>0使得不妨设B∗=4nB.由于

对于I1,取1和q1使得则由H¨older不等式,引理3以及a(x)的尺寸条件知

再来估计I2,

注意到x∈(B∗)c和y∈B,有|x−y|∼|x−x0|∼|x−x0|+2r0,于是对I21,有

对于I22,利用原子的消失性以及|x−x0|+2r0

对于II2,类似于I21的估计,有

下面估计II1,有

对于II11,有

对于II12,有

参考文献：

[1]陈冬香,吴丽丽.具有非倍测度的Marcinkiewicz积分交换子Morrey空间的有界性[J].数学物理学报,2011,31A(4):1105-1114.

[2]陈晓莉,陈冬香.具有非倍测度的Marcinkiewicz积分交换子有界性[J].数学年刊,2010,30A(3):375-384.

[3]Sawano Y,Tanaka H.Morrey spaces for non-doubling measures[J].Acta Mathematica Sinica(English Series),2005,21:1535-1544.

[4]Ding Y,Fan D S,Pan Y B.Lpboundedness of Marcinkiewicz integrals with Hardy functions kernel[J].Acta Math Sinica,2000,16(4):593-600.

[5]陆善镇,吴强,杨大春.交换子在Hardy空间上的有界性[J].中国科学,2002,32(3):232-244.

[6]Stein E M.On the functions of Littlewood-Paley,Lusin,and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc.1958,88:430-466.

[7]Garc´ıa-Cuerva J,Gatto A E.Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures[J].Studia Math,2004,162:245-261.