基于结构特征的模型思想教学探索

☉福建省厦门市思明区教师进修学校 朱丹红

基于结构特征的模型思想教学探索

☉福建省厦门市思明区教师进修学校 朱丹红

人民教育出版社章建跃编审指出：课堂教学中的技术性问题不是理念所能解决的，一定是基于对数学本身的理解与感悟.研究教材中的模型思想的过程，既是对教材的研究，也是对数学本身的再次理解；是学科内容与数学教育结合的一个良好载体，也使笔者对模型思想的教学有了一些新的想法.

一、教材中的基本数学思想

正如《义务教育数学课程标准》（2011年版）（下文均表述为“课标”）在P59-P67的教材编写建议中提到的“……教材内容要体现重要的数学知识和方法的产生、发展与应用过程，……教材内容的呈现要考虑不同年龄学生的特点”.可以说教材的编写要充分体现数学知识的发生与发展的应用过程.

什么是基本数学思想？关于这个概念，史宁中在《数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象》的前言中指出：“基本数学思想既不是学习数学时所涉及的思想，如等量替换、数形结合、递归、转换等，也不是解数学题时所涉及的具体数学方法，如配方法、换元法等，而是数学发展所依赖、所依靠的思想.……至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……抽象是最核心的，通过抽象，从现实生活中得到数学的概念和运算法则；通过推理得到数学的发展；通过模型建立数学与外部世界的联系.”

根据“课标”对教材的编写建议，既然教材内容要体现数学知识的发生、发展与应用过程，那么教材内容就应该呈现出基本数学思想.

如果说“课标”提出的基本数学思想是一个高位的抽象的指导意见，是理论，那么教材则是把高位抽象的教学理念转化为各种层次的学生能接受的具体的知识点，其呈现出来的是相对零散的、具体的文字材料.其中对理论的解释要转化为通俗易懂的语言，其中就难免会失去教材编辑者对思想内涵的深刻解读.

从这个角度看，研究教材有助于我们加深对基本数学思想的理解，并且能够帮助我们在课堂教学中以生为本，将基本数学思想的教学设计得更贴近学生的认知水平，从而促进学生数学思维方式的发展，培养学生用数学的眼光看待问题.

研究教材中的数学思想，有助于将固化的文字材料转化为可以实际操作的教学工作，也是为了能在进一步理解数学本质的基础上提供一些自己的经验.深入研究教材中的数学思想，能帮助我们从数学的发生、发展出发，开展数学教育；能帮助我们把数学知识设计成更适合教学的，这是对思想教育工作者的一种提升，也可以更好地帮助我们教给学生数学化的眼光和思维方式.这也是米山国藏所说的数学学科教学的目的应该指向“即使学生时代非实用性的数学知识忘得一干二净，但那种铭刻于头脑中的数学精神和数学文化理念，却会长期地发挥作用.也就是说，他们当年所受到的数学训练一直会在他们的生存方式和思维方式中潜在地起着根本的作用，并且受用终身”.

二、模型思想

“课标”中十大关键词中对模型思想的定义是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.”

搜狗百科指出：数学模型（MathematicalModel），是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构.也就是用字母、数字及其他数学符号建立起来的，用于描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构.

沈文选指出：“数学模型可以描述为……运用适当的数学工具，得到的一个数学结构”“数学模型……也包括……数学概念、各种数学公式、方程式、定理、理论体系等”.

结合三者观点，笔者认可沈文选所说的“整个数学也可以说是专门研究数学模型的科学”.既然数学是通过抽象从现实生活中得到数学的概念和运算法则，那么抽象的结果就是形成概念、形成关系、形成法则定理，其结果与模型的定义是一致的，也就是说，数学抽象的结果就是数学模型.在初中阶段，这个模型并不仅仅是《数学思想概论》丛书中提到的数学概念和运算法则，也不只是“课标”定义的方程、不等式、函数等表示数量关系和变化规律的代数模型，应该还包括几何图形和体现各种统计意义的统计模型.概言之，模型可以包含数学的所有知识.

推理是数学内部发展所依赖的思维工具.其中演绎推理用来验证知识的正确性，而发现知识更多需要依赖合情推理，也就是从诸多表面现象中，发现规律，提出猜想.合情推理这种思维方式也不是凭空产生的.它需要有经验的积累和敏锐的观察能力，这是我们可以和学生一起在日常的教与学的活动过程中习得的.通过从简单到复杂，从特殊到一般，从数学到符号，这些经验的积累，形成了合情推理的能力，在新的问题情境中，学生能将以往解决问题时积累的经验类比迁移到新情境的问题解决中.

对现实问题进行抽象，就是一个合情推理的过程，有了数学模型，还得将模型应用于解决问题，这是数学具有广泛应用价值的体现.数学之所以具有广泛的应用价值，之所以成为社会发展必不可少的文化工具，就是它从诸多表面现象中抽象出了最本质的数量关系和位置关系，在抽象的基础上通过合情推理和演绎推理得到数学的概念和法则；通过推理得到数学的发展；通过模型建立数学与外部世界的联系.

学生在建立模型时，一定要基于对事实材料的特征分析，抽象出其本质属性，而应用数学模型解决实际问题，也需要分析实际问题的背景是否符合选用模型的使用范围.

三、结构特征

结构，是指事物自身各种要素之间的相互关联和相互作用的方式，包括构成事物要素的数量比例、排列次序、结合方式和因发展而引起的变化，这是事物的结构.事物结构的存在不但使人们能研究它，同时也能驾驶它.

数学结构包括：纯数学结构、数学教育结构、微观层面上的数学结构.

数学模型能表现出具有相同结构的事物数学化的同质属性.初中阶段研究模型思想，更多研究的是微观层面上的数学结构，如数学概念、性质、法则、公式、公理、定理等内容.

特征是指某种事物所特有的外在表现，是一事物不同于其他事物的特点，是人或事物可供识别的特殊的标志，一个客体或一组客体特性的抽象结果.

本文中的结构特征是指具体数学模型的外部特征，是组成模型整体的各部分的搭配方式的特性.

从建立模型的角度讲，学生要学会摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏，首先就要从观察入手.以代数的建模为例，就是要自觉有序地观察具体式子（方程、不等式、代数式、解析式等）的结构，分析是由哪些部分组成的，挖掘其中的共性，抽象形成模型.

从应用模型解决问题的角度讲，学生要学会用结构化的眼光审视问题的结构，判断其符合哪个数学模型的结构特征，寻找到已知和未知的联系，进而设计解决问题的思路，选用合适的模型来解决问题，找到问题的破解方向.

因此，无论是建立模型还是应用模型，都需要分析问题的结构特征.这不正是在运用数学的眼光看待问题，运用数学的思维方式来解决问题吗？这不正是“课标”提出的数学教育的核心任务就是让学生学会用数学思维方式发现问题、提出问题，分析问题、解决问题吗？

四、基于结构特征的模型思想教学案例分析

齐民友先生曾指出：我们必须注意数学家所用的工作方式，并围绕它，而不是围绕着数学家工作的结果来组织教学.学生需要的是走到模型构建的内部去看个明白，而重新经历建立数学模型的过程是最好的“看个明白”.这也是我们在教学过程中必须面对的，学生当下需要什么样的教学？需要获得哪些“知识”？此处的“知识”肯定不是纯粹的数学知识，而必须是能在其将来的学习与工作中发挥作用的“知识”，这个更多是学生的学习能力和数学思维方式.

1.结构特征在代数模型建构与应用过程中的作用

学生在构建数学模型的时候，一定是基于对事实材料的特征分析.抽象什么来建立模型，或者应用模型解决问题，也需要分析实际问题的背景是否符合该模型的使用范畴.

案例1：人教版九年级上册第二十一章《一元二次方程》.

教材在P2和P3都提出一个问题“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”这个问题就是在引导学生观察具体方程的结构特征：方程是由哪些元素组成的？其中的次数特征是什么？教材中举出形如“4x2=9”“x2+3x= 0”“3y2-5y=7-y”的方程，并用文字描述这些具体的方程具有“等式”“一元”“最高次数为2”的特征后，直接给出一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0）”.但是为什么一元二次方程的一般形式是这样的，教材中并未予以解释.

从具体实例中，学生可以发现要作为一元二次方程，首先必须是方程，也就是要有等号；其次必含有ax2（a≠0）.为什么抽象成“ax2+bx+c=0（a≠0）”的模型？因为此时在模型的组成元素的排列形式上满足了“最简、有序、普适”的原则.也就是说这个模型能涵盖各种化简后的一元二次方程，虽然教材中没有解释为什么模型要有此特征，但是我们在教学中是可以引导学生的.为了对模型进行深入研究，给出更多的同样具有普适性的结论，用于解决更多具体问题，模型本身必须具有普适性，而有序是普适性的一个表面特征.

在教学中我们发现正是在抽象一元二次方程模型时，缺乏对模型结构特征的梳理，才导致学生遇到具体的一元二次方程时，缺乏把具体方程整理成有序的符合模型结构特征的形式的意识，这种意识的缺乏也导致学生在解决其他二次式的相关问题时，会出现一系列的错误.

也就是说要应用模型，就得辨析清楚模型的结构特征.要在符合模型结构特征的前提下使用模型，不符合的必须经过转化，使之符合模型的结构特征；确实无法符合的，就不能使用模型.例如在解决一元二次方程的大多数问题时，必须将方程整理成一般形式，从而确定a、b、c的具体数值，以便在具体问题中直接代入公式解决问题.

如何将模型思想渗透在日常教学中？这是“课标”提出的一个教学任务，也是数学教育的一个本质任务.

初中的数学教学如果依然侧重于学习前人建立好的现成模型，则整个师生的教与学的活动都是被动的，不能对学生的创新意识的形成有帮助作用.初中教学中的数学建模并不只是局限于针对实际背景的问题，它可以是对数学知识“再发现”的建构过程.采用纯数学问题的模型建构，等于是直接将实际问题中与模型无关的属性去除，让学生能关注核心问题，这样的处理方式符合初中阶段学生的认知心理，也是该阶段学生能做到的数学建模.

2.经历结构特征的观察与提炼，积累建模经验

初中阶段的数学建模针对已经摒弃了无关元素的理想状态，但要“创造”出一个数学模型，依然是一个巨大的挑战.

初中阶段学生的模型建构需要基于一定的经验，这需要老师在多次模型建构的过程中引导，使之成为学生的一个学习和思考的习惯.其中对结构的特征观察与提炼就是一个非常重要的部分.

案例2：人教版七年级上册P28-29《1.4.1有理数的乘法》.

教材引导学生：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？

3×3=9；

3×2=6；

3×1=3；

3×0=0.

教师要引导学生横向观察所给材料共同的结构特征：都是表示“两个数相乘=积”的等式，每一个等式都是这样的结构.再纵向观察每个等式之间的联系：被乘数都一样是3，乘数依次递减1，积依次递减3.

要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么就应有：

3×（-1）=-3；

3×（-2）=_________；

3×（-3）=_________.

引导学生由此有序的规律猜想结论可能是-6和-9.

接下来的思考依然可以如此处理.

3×3=9；

2×3=6；

1×3=3；

0×3=0；

（-1）×3=_________；

（-2）×3=_________

（-3）×3=_________.

猜想出结论后，还需要验证和说理.

此处的说理有两种形式.一种是根据乘法的意义“几个相同加数的和的简便运算”，可以记为“加数×个数=积”，这是学生在小学就已经学过的定义，学生也是可以接受的.一种是利用数轴上点的运动加以解释，如“（-3）×2”表示“走2次，每次走-3格”，像这样引入另一个形式的模型来加以解释，从而达到验证的目的.

在观察结构特征的基础上引导学生用抽象的概括性的语言对每一个乘数，以及运算的结果加以描述，从而获得局部的有理数乘法法则：“正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.”

后续同理对负数乘负数进行探究.

3.有序整理素材，突出结构特征

正如沈文选在《从数学建模走向能力卓越》一文中提到的“建立数学模型是一种积极的思维活动，……大体要经过分析与综合、抽象与概括、归纳与类比、系统化与具体化的过程”.

提高建模能力，需要对材料进行处理，也就是要分析材料的结构特征，依据一定的原则与顺序对材料进行整理，使材料的特征更为突出.

案例3：请观察这些具有某种特殊规律的勾股数：

6，8，10；10，24，26；4，3，5；8，15，17；12，35，37等．

现用2n表示具有这种特殊规律的三个勾股数中的第一个，请用含n的代数式表示这种勾股数中后面的两个：2n，_________，_________（n是大于1的整数）．

这是初中数学的一道习题.学生在解决这个问题时都被难住了.但是我们把材料进行有序的整理，如下：

4，3，5；

6，8，10；

8，15，17；

10，24，26；

12，35，37.

这样学生就陆陆续续能独立解决问题，建立出相应的模型.此例告诉我们，具体材料的有序梳理是非常重要的.

如果我们在日常教学中能将每一个知识的探究过程都变成一个学生学习建立数学模型的过程，那么就找到了适合初中学生的培养模型思想的良好载体.只有从这个角度去看待教材和“课标”中的知识点，才能真正上出有数学味道的课，从而使学生逐渐学会“数学”地观察世界以及处理和解决问题.

结合结构特征研究模型思想，提高学生的归纳能力和建构水平，形成运用数学的思维方式思考的习惯，有助于教师分析教材文字背后的编辑意图，和学生一起学会抽象，构建模型；更有助于提高对初中数学知识体系的系统认识.只有在加深对数学本身的理解和感悟，吃透学科内容本身的基础上，才能产生教育教学的见解.

1.米山国藏，著.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

2.史宁中.数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.

3.史宁中.数学思想概论（第2辑）：图形与图形关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2009.

4.史宁中.数学思想概论（第3辑）：数学中的演绎推理［M］.长春：东北师范大学出版社，2009.

5.史宁中.数学思想概论（第4辑）：数学中的归纳推理［M］.长春：东北师范大学出版社，2010.

6.沈文选.数学思想领悟［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.

7.沈文选.数学建模［M］.长沙：湖南师范大学出版社，1999.

8.吴亚萍.新基础教育数学教学改革指导纲要［M］.桂林：广西师范大学出版社，2009.

9.［美］波利亚，著.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

10.荀步章.数学认知结构的解构和建构［J］.江苏教育·小学数学，2013（2）.

11.张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用［J］.辽宁教育行政学院学报，2006（12）.

12.刘长乃.高等数学《结构教学法》初探［J］.工科数学，1994（9）.