知行合一 学生先行

李鑫娟

教师应该是一个有思想的行动者，优秀教师与众不同的“研究”方式，加速了他们的专业成长.其中，最为突出的特点就是他们在“知行合一”中提高专业水平.“知行合一”强调“知”和“行”的同步交互与“悟性自足”——在“行”中“知”、“行”和“知”齐头并进，注重主体悟性的发挥和行为的同步跟进，也就是在课堂拼搏中学会教学，在问题的驱动下提高自身的水平以适应学生的需求.笔者有幸参加2014年宁波市教坛新秀评比，现就课堂评比“两直线的交点坐标和距离公式”，探讨一下在“知行合一”理念下，如何在一个个问题的驱动中，优化课堂教学设计，提高课堂实效，促进师生共同成长.

陈永明教授在《评议数学课》中曾说：“导入知识不应该马马虎虎，马虎了，学生就不知道知识的来龙去脉了.”可见导入知识的重要性.源于本节是高二复习课，为了课堂自然流畅，应注重回归本源，凸显本真数学教学，关注课堂生成，解决“学生独自面对数学问题时能想能做”这一根本问题.本节课分为以下几个环节.

一、问题驱动 引发思维

提出问题 我们知道点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式是d=，那么怎样推导呢？请从几何、函数、向量和不等式的角度进行研究.

设计意图 点到直线的距离公式是解析几何的“核心内容“，其结果很重要，推导过程本身也很重要.问题的提示是一种情境的创设，为学生指出可能的探究方向.用不同的方法推导，可以促进学生对知识的理解，加强知识的融合和综合，可以培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性.

学生探究 要求学生独立思考，以小组为单位，给出推导过程，教师巡视和指导，查看研究结果.

推导过程1（几何法） 过P作PM∥y轴交直线l于点M，过P作PN∥x轴交直线l于点N，过P作PQ⊥l于点Q，线段PQ即为点P到直线l的距离.（如图1）.

教师点评 这种解法借助几何图形的数量关系，利用面积公式和直线交点坐标求法等相关知识，在知识的应用过程中促进了知识的融合和创新，形象直观，过程简洁，此种方法应该值得大家借鉴.

推导过程2（函数法） 点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点到直线的距离.在l上取任意点Q（x，y），点P到直线l的距离即为PQ的最小值.

用两点的距离公式可求PQ，但在计算中学生化简难度比较大，教师在巡视过程中提示，对运算过程和方法进行优化.为了利用条件Ax+By+C=0可对其变形为A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+

=

可以转化为关于x-x0的二次函数求最值问题

当x-x0=-时，[PQ2][min]=

所以最小值就是d=.

教师点评 本解法是解析几何的基本方法即通法. 能否进行过程和方法的优化，要有盯住目标的意识和不断优化的意识，这是重要的数学素养. 经常反思的同学才可以掌握此方法.此时学生并没有因为算不出而沮丧，反而群情激昂，越挫越勇.在这个愉悦、和谐的教学情境中，学生思维的积极性被充分调动起来.而在解法的探究过程中，我启发学生给他们作了几个铺垫，使探究的过程更自然一些，这样使学生的思维最大程度得到“释放”，思维过程也更自然.

推导过程3（柯西不等式） 点P（x0，y0）到直线 l上任意一点Q（x，y）的距离的最小值就是点P到直线l的距离.由柯西不等式，得

（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2

=（Ax0+By0+C）2. ∵Ax+By+C=0，∴≥，当且仅当A（y-y0）=B（x-x0）时取等号，所以最小值就是d=.

进一步创设情境，对于方程A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），你能从向量的数量积角度解释这个等式并得出相关结果吗？这个问题充分调动了学生的积极性，经过思考、交流、讨论，有个小组给出了如下解答.

推导过程4（向量法） 设直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的一个法向量n=（1，），设M（x，y）为直线l上任意一点，则=（x-x0，y-y0），从而点P到直线l的距离为d===，∵点M在直线l上，∴Ax+By+C=0，从而d=.

复习课对基础知识的引入，我摒弃了常规的复习引入，而是从公式的推导入手，将本节课的知识点都融入到知识的推导过程中，让学生自由体验、创新、比较.面对问题，学生经过独立思考，自由调用包括几何、三角、函数、向量和不等式等知识解决问题，有许多的方法和知识都涉及领会、探究层次.在交流的过程中，使学生经历了方法的不断优化过程，有尝试、有比较、有反思，可以更好地促进知识的同化和顺应，促进知识的理解和融合，因为应用就是最好的理解.

二、再次设疑 激活思维

例题 已知直线l1：ax-y-4a=0，l2：x+y-2=0，l3：2x-y-10=0，若三条直线不能构成三角形，求a的值.

这是学生作业中的一道题，大家不陌生，入口较宽，反应也很迅速，可以说是一步到位，顺利完成.

学生探究 学生分类讨论可知，本题有三种情况：

①直线l1∥l2时，a=-1；

②直线l1∥l3时，a=2；

③直线l1经过l2，l3的交点（4，-2）时，a无解.

综上可知满足条件的a的值是-1或2.

本题考查直线和直线关系的判定，两直线交点坐标的求法，分类讨论思想，是一道值得探究的好题，探究是数学课堂教学的生命线.充分利用此题，深入探讨，达到一题可破万题山的境界.

三、变式探究 优化思维

变式1：若三条直线l1，l2，l3能围成三角形，求a的取值范围.endprint

生1：本题可以采取补集思想，利用例题的结论，轻松解决.满足条件的a的取值范围是{[a] a≠-1且a≠2}.

变式2：若三条直线l1，l2，l3能围成三角形，且围成三角形的面积为，求a的值.

设计意图 学生不难发现三条直线中，l2，l3固定，l1是过定点（4，0）的动直线，l1的转动，引发三角形形状的变化，l1的转动正是因为a的变化，从而a的变化引发三角形面积的变化.在三角形面积的计算中，重点考查了两点间距离和点到直线的距离公式，是解析几何中的常见问题，适合对通行通法的提炼.章建跃先生在编后漫笔中指出在解题中注重通性通法的提炼，才是追求数学教学的“长期效益”.

学生易求得交点B

，

，C

，，BC==，设d为A到l1的距离，则d=，S==，即a=或a=. 大家进一步提炼得到以下优化解法. S=ADxB-xC=xB-xC=

-

=.

利用图象简化计算，化二维运算降为一维运算，简化运算是解析几何中的一项基本技能.

变式3：若0

设计意图 解析几何中最值问题中常用的解题思想就是函数思想，精选变量，构造目标函数，转化为函数最值问题，使学生“够得到”，符合他们的“最近发展区”.

生2：S==-=≥.（0

变式4：若三条直线l1，l2，l3能围成三角形，此三角形的面积有无最值？若有，请求出最值；若没有，请添加适当条件，保证三角形面积有最值.

设计意图 开放性问题更能调动学生学习的热情，催动a，从而引发三角形形状的变化，利用数形结合思想，根据待求量的几何意义使三角形的面积最值问题得以解决.同时，几何画板的应用，使静态的推敲变成动态的演示，更加简单、直观，体现数学的严密性和几何的直观性.（如图2、3、4）

数学中的一些题目可以进一步探究、延伸与拓展，有利于学生将这一类问题整体把握.引导学生对命题作推广，可将条件和结论作相似变换，由特殊到一般，由静态推广到动态.这种对知识的延伸和拓展，有利于学生思维的变异和发散.将问题定位在学生思维的“最近发展区”，使问题的变式、知识的迁移和学生思维的自然延展相吻合，遵循自然之道.在变中出彩，在变中提升课堂实效.

四、有效小结 升华思维

师：请大家归纳一下本节课的主要内容.

生3：（1）三种距离：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.

（2）三种位置关系：平行、相交、重合.

（3）三类题型：①直线与直线位置关系的判定；②参数值的方程求法；③最值问题求解.

（4）三种思想：①数形结合思想；②分类讨论思想；③函数和方程思想.

师：大家总结的这些思想方法引导我们进行解题，快捷地寻找解题突破口，形成解题思路.

设计意图 总结与反思是学生思维升华的关键，引导学生对本节课所学的内容包括例题、变式的解题思路和方法等进行反思和总结，并站在一定的学科高度上加以审视地看，从中看清问题的本质，领悟数学思想方法的内涵，学会用理性思维去思考数学问题.

对复习课教学的启示 复习课的解题教学中常蕴含三部曲：选题、讲题、变题.选题就是要在准确把握考试范围和要求的基础上，紧紧围绕本节课的教学目标，紧扣考试重点、热点的题型进行选题，并不是难度越大越好，一道好题之所以可以引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中蕴含的数学思想.讲题一定要注重解题思路的分析，充分暴露思维过程，并把“通性通法”放在首位.教师不仅要从自己的角度研究给出的题目，还要从学生的角度去思考题目，更要从命题的角度去审视题目.而变题，就是变式教学，就是改变题目的设问方式或对题目进行拓展延伸，归纳出一类问题的本质解法，从而达到举一反三，融会贯通的目的.在教学的实施过程中要有一定的探索性、师生的互动性、学生的主动参与性，从而可以看出只有教师不断地提升自己的教学，才可以适应学生的不同需求.

课程改革的关键是课堂改革，课堂改革的根本目的是构建高效课堂，构建高效课堂则更多地需要教师的智慧.教师和学生的“课堂对话”是促进学生有效学习、构建高效课堂和提升学生思维能力的必然要求.数学教学是师生互动的过程，每一节课都是师生的激情与智慧互动生成的过程.在教学过程中，师生间、学生间进行动态的平等对话与交流，实现课堂中的师生互动.在对话与交流中，教师与学生讨论与补充，表达与倾听，争论与沟通，在交流中分享探索的喜悦，共享思维的成果，学生的智慧在对话交流和思维共振中生成.教师应敏锐地捕捉课堂互动信息，形成充满活力和智慧的数学教学.在课堂上，只有教师问出水平，学生才能答出精彩，只有教师不断提升课堂效率，学生才能在数学学习上有“会当凌绝顶，一览众山小”的实力和气魄！