可调谐的宽频带负体弹模量吸声超构材料

陈怀军，赵文霞1，郝长春2

（1.宁夏师范学院 物理与信息技术学院，宁夏 固原 756000；2.陕西师范大学 物理学与信息技术学院，陕西 西安 710119）

1 引 言

随着社会的不断发展和城市规模的日益扩大，各类噪声污染日益严重，消除噪声成为迫切需要解决的严重问题，也是一个难题。现有的吸声材料通常存在吸声频带窄和吸声效率低的缺点，声学超构材料（acoustic metamaterial，AM）的出现有望从根本上克服吸声材料的上述不足：在谐振频率附近，AM出现负体弹模量的同时，还具有超强的吸声性能；通过设计AM单个谐振单元的谐振频率并将其多层排列，可以实现宽频带吸声。

自从前苏联物理学家Veslago教授提出左手材料 （left－handed metamaterials，LHMs）的 概念，并经由英国帝国理工大学的Pendry教授和美国杜克大学的Smith教授相继通过实验实现了LHMs以后［1］，LHMs迅速发展为电磁超材料，并实现了包括负折射、平板聚焦、超分辨成像、完美吸收等在内的诸多奇异物理现象。将电磁超材料的思想引入到声学领域，提出了AM的概念。与光子晶体和声子晶体的“波长”尺度不同，AM的结构尺寸远小于声波波长，是“亚波长”尺度的。2000年，香港科技大学的Liu等人提出局域共振思想，实现了有效质量密度为负值［2］。局域共振思想的提出，为AM的发展奠定了理论基础。负体弹模量主要通过亥姆霍兹共振器（helmholtzresonator，HR）实现［3］。2006年，美国麻省理工学院的Fang等人利用亚波长的HR，在超声波段首次实现了负体弹模量［4］。随着AM的快速发展，AM实现了与电磁超材料类似的奇异物理现象，例如负折射［5］、平板聚焦［6］、亚波长成像［7］、完美吸收［8］、隐身斗篷［9－11］等。AM在生物医学超声诊断、声准直、水下兵器隐身、消除噪声等方面具有广阔的应用前景。

相比常规吸声材料，以HR为结构单元的AM在噪声消除方面存在巨大优势。在发生谐振时，声场能量主要存储在HR内部，AM因此具有良好的吸声性能，甚至能使噪声完全吸收。AM发生谐振时，同时会实现负体弹模量：HR内部的声媒质以本征频率谐振，致使外界声场的声压力方向与空气膨胀压缩的步调相反，产生负体弹模量。目前的负体弹模量AM存在制作困难、不易调频以及难以实现三维材料等困难。本文提出了一种立方体铝质HR模型，可以有效解决上述问题：通过在空心铝质立方体上钻孔的方式可以获得空心立方体HR，制作容易；通过改变空心立方体HR的钻孔数目、钻孔孔径大小、立方体容积等参数，可以任意调节空心立方体HR的谐振频率；以空心立方体HR为结构单元，很容易制备成三维吸声材料。

2 样品模型和仿真计算

本文所用的AM结构单元为铝质开孔立方体HR，其立体图和横截面如图1（a）和1（b）所示。HR的开口孔径、厚度、空腔体积分别为2r，t和v＝l3。根据声传输线理论，HR可以等效成L－C谐振电路：其空腔等效为声容，开口孔颈部分等效为声感。 其中ρ和c分别为空00气的质量密度和声速，v是空心立方体HR的空腔体积，S＝πr2是HR的开口孔横截面积，开口孔的等效长度表达式为。L－C电路的谐振频率为。由谐振频率的表达式以及上述的v，S，deff与r的关系可知，通过改变HR的开口孔径2r的数值，可以改变HR的谐振频率。本文选用HR的空腔内径和厚度分别是l＝20mm和t＝1mm。

图1 （a）HR立体结构示意图；（b）HR横截面示意图.Fig.1 （a）3Dview of HR；（b）Cross－sectional view of HR.

图2 （a）HR周期性排列构成AM，晶格常数a＝30 mm；（b）AM在声阻抗管中的仿真计算模式.Fig.2 （a）AM composed of periodical HRs with the lattice constant a ＝ 30mm.（b）Simulation model of the AM in the acoustic impedance tube.

将HR周期性排列，制备成超构材料，如图2（a）所示。HR排列的晶格常数a＝30mm。仿真计算时，应用COMSOL Multiphysics仿真软件声学模块的频域模式。仿真条件设置如下：将AM放置在半径为50mm，长度1000mm的声阻抗管的中部，阻抗管的边界设置为硬质边界条件。端口1设置为声源，辐射声压为1Pa的平面波，如图2（b）所示。网格尺寸设置为正常。

3 结果与分析

3.1 不同开口孔径对AMs谐振频率的影响

图3 不同开口孔径HR AM的透射谱和透射相位曲线.（a）～（d）中HR的开口孔径分别为2r＝0cm，2r＝3 mm，2r＝4mm和2r＝5mm.Fig.3 Transmission spectra and phases of the AMs composed of HRs with different diameters.（a）2r＝0mm，（b）2r＝3mm，（c）2r＝4mm，and（d）2r＝5mm.

首先构建4种均是由单一开口孔径HR组成的AM。4种AM中的HR开口孔径2r分别为0mm、3mm、4mm和5mm。不同开口孔径AM的透射谱和透射相位曲线如图3所示。从图3中可以看出，除了由不开孔HR构成的AM以外，其他3种AM在不同频率处均出现一个透射谷，并且每一个透射谷对应频率的附近发生了透射相位扭转。透射谱和透射相位曲线的这种性质表明，在透射谷附近，空气在HR内部发生了谐振。与之相比，由不开孔HR构成的AM没有出现透射谷，透射相位也没有出现扭转。说明不开孔HR没有发生谐振，谐振是由开孔的HR引起的。开口孔径分别为3mm、4mm和5mm HR构成的3种AM对应的谐振频率分别是980Hz，1180Hz和1361Hz。随着HR开口孔径的增大，AM谐振频率向高频移动。上述谐振规律与谐振频率的理论表达式相对应：在不改变谐振单元HR的空腔容积v及厚度t情况下，开口孔的面积S增大，谐振频率增高。

3.2 负有效体弹模量

图4 （a）谐振频率1 180Hz时 HR内部的声压分布.（b）非谐振频率300Hz时HR内部的声压分布.Fig.4 Pressure field distributions of HR AM at（a）the resonant frequency of 1 180Hz and （b）the non－resonant frequency of 300Hz.

图4表示的是开口孔径为4mm的HR在谐振和非谐振两种状态下的声压分布情况。声压分布清楚地表明，在谐振频率1 180Hz附近，HR内部声压远大于外部声压，表明HR内部聚集了大量能量；而在远离谐振频率的300Hz，HR内部声压跟外界声压基本相同，声场能量在HR内部和外部均匀分布。谐振状态下，由于HR内部存储了大量声能，HR内部的空气会以本征模式振动，此时会发生反常而有趣的物理情景：HR内部空气受外界声压压缩时，发生膨胀；受外界声压拉伸时，发生压缩。HR内部空气受力压缩和膨胀的模式跟正常情况完全相反，导致了负体弹模量的产生。

通过参考文献［12］，我们可以得到声学折射率n和阻抗值Z的表达式：

图5 开口孔径为4mm的HRAM的体弹模量.Fig.5 Modulus of the AM composed of HRs with diameter4mm

图5表示的是开口孔径为4mm的HR组成的AM的体弹模量。从图中可以看出，在谐振频率1 180Hz附近，体弹模量的实部为负值。

3.3 宽频带吸声AM

由HR的谐振频率公式和图3所示的透射谱可知，HR的开口孔径大小跟谐振频率密切相关。在谐振频率处由于HR内部存储了大量声场能量而导致透射率下降，从而在谐振频率附近形成良好的吸声效果。鉴于HR的上述特性，我们通过改变图1（b）中HR开口孔径的大小来改变HR的谐振频率。随着外界声场频率的变化，使不同孔径的HR在不同频率依次谐振，最终实现宽频带吸声。按照上述思路，我们将图2（a）中单层排列的7个HR谐振单元的开口孔径数值由原来的同一大小分别设置成如下两种等差数列排列：第一种排列中，最小孔径3mm，最大孔径4.2mm，公差0.2 mm；第二种排列中，最小孔半径3.1mm，最大孔半径4.3mm，公差0.2mm。即第二种排列的每个HR孔径比第一种排列大0.1mm。

两种AM的透射谱如图6（a）和6（b）表明，两种透射谱均产生了7个窄带的透射吸收谷。从前面分析可知，7个窄频带透射谷是由单层排列中的7个HR分别单独谐振产生的。由于第二种排列的7个HR孔径比第一种排列的HR孔径大，所以第二种排列的7个谐振频率比第一种HR排列的7个谐振频率均有20Hz左右的蓝移。如图6（c）所示，将两种排列的透射谱放在同一图中进行对比，这种由于HR开口孔径的变化而引起的谐振频率的移动表现得更加明显。

图6 单层7个开口孔径按等差数列排列的HR AM透射谱.（a）HR开口孔径最小值3mm，最大值4.2 mm，孔径公差0.2mm；（b）HR开口孔径最小值3.1mm，最大值4.3mm，孔径公差0.2mm；（c）两种AM的透射谱.Fig.6 Transmission spectra of the single－layered AM consisting of seven HRs，the diameters of which change as arithmetic progression.The minimum values，maximum values and tolerance are（a）3 mm，4.2mm and 0.2mm；（b）3.1mm，4.3mm and 0.2mm；（c）Transmission spectra of the two AMs.

图6展示了一种设计宽频带吸声材料的途径：HR之间孔径变化越小，对应的各个谐振频率差别也越小。在HR孔径变化足够小的情况下，多个窄频带透射谷将会相互叠加，最终形成宽频带吸声。将上述两种开口孔径逐渐变化的单层HR按图7（a）排列成相距40mm的上下两层。双层排列中HR开口孔径最小值为3mm，最大值为4.3mm，半径公差0.1mm。图7（b）是双层HR排列的透射谱，由于各个HR单独谐振产生的透射谷相互叠加，形成了970～1 300Hz宽频吸声。在吸声带宽范围内，最低声透过率仅为－22dB，吸声效果良好。在现实应用中，可以同时改变HR的空腔体积、开口孔径大小以及增加排列层数，从而实现任意带宽的超强吸声。

图7 （a）双层开口孔径按等差数列排列的HRAM.（b）双层 HR AM的透射谱.Fig.7 （a）AM with double layers of HRs with diameters changing as arithmetic progression；（b）Transmission spectrum of the bilayered HR AM.

4 结 论

基于局域共振思想，并根据HR的谐振特点，研究了HR的开口孔径跟谐振频率之间的关系：HR的开口孔径越大，谐振频率越高。阐述了谐振频率附近产生负体弹模量的原因，并通过声压分布表明，在谐振频率附近声场能量主要集中在HR内部从而产生低的声能量透过率。通过改变HR的孔径分布构建了一种970～1 300 Hz、最低声透过率为－22dB的宽频带吸声材料。本文提出的这种构建宽频带吸声超构材料的方法，对噪声控制具有重要的现实应用价值。

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