学习形式化的表达是数学教学的一项基本要求

☉湖南省株洲县第五中学方厚良罗灿

学习形式化的表达是数学教学的一项基本要求

☉湖南省株洲县第五中学方厚良罗灿

在我国基础教育阶段，对数学的形式化及其教学一直是个争论的话题，至今似乎仍无定论·影响较大的开端，源于1991年5月张孝达先生在西南师大的一个报告中“惊世骇俗”地提出“淡化概念”，诱发西南师大陈重穆、宋乃庆二位教授撰写《淡化形式，注重实质》（发表于1993年第2期《数学教育学报》），继而引发国内学者对“形式”与“实质（本质）”的热烈探讨甚至争议·进入21世纪，随着新一轮课程改革的展开、深入，关于数学及其教学的“形式化”又有了新的变化，对形式化和本质的认识、处理直接影响了数学教学的质量与效果：教育家们曾基于“作为科学性原则的补充（或反思）”提出在中小学数学教学“淡化形式”（需要指出的是《淡化形式，注重实质》一文主要针对初中数学教学）有其深刻的时代背景，即是对我国中小学数学教学受前苏联影响而过分强调“科学性”、过分形式化的批判，自有其积极意义；但矫枉过正，如今数学课“去数学化”闹得厉害，数学课缺乏数学味，这必须引起我们的高度警觉！教育是一件十分重大的事情，不能从一个极端走向另一个极端·事实上，2003年国家教育部制定的《普通高中数学课程标准（实验）》对此作出了平衡意义下的表述，将“强调本质，注意适度形式化”作为“课程的基本理念”之一，旨在指导高中数学教师在数学教学中协调好“形式与本质”的关系·从2004年广东、山东、海南和宁夏四省率先实施课改至今已愈十年，课改的理念很好地得到践行了吗？一线教师对数学形式化教学要求处理到位了吗？笔者的观察是不太乐观的：大家对“形式化”是很忌讳的，各种数学期刊、教育杂志刊发文章中，最热闹、最时髦的词汇也许是“本质”，而“形式”则是批判的对象，是作为“本质”的对立面看待的！甚至将教学手段、方式误解为数学“形式”的也大有人在！这些误解、混淆、混乱是不正常不应该的，严重影响了中学数学的教学·章建跃老师的《数学课要教数学》绝不是偶感而发，所列举现象实乃颇具普遍性，笔者的思考是：10年课改，我们是不是应对“作为科学性原则的补充（或反思）”再做反思？限于讨论课题的专业性和复杂性，本文仅探讨其中一个子课题，即“学习形式化的表达是数学教学的一项基本要求”，侧重探讨如何在数学教学中落实这一要求·

一、学习形式化的表达是数学教学的一项基本要求

1·数学教学为什么要学习形式化表达

首先，学习形式化表达是课标对数学教学提出的一项基本要求·课标指出：形式化是数学的基本特征之一·所以，避开、抛开数学的形式化是做不到的，也是不应该的·课标明确提出“在数学教学中，学习形式化表达是一项基本要求”，请注意“基本”二字！试问，数学教学有哪些是基本要求？

其次，学习形式化的表达是达成“提高数学表达和交流能力”课程具体目标的主要途径·数学表达和交流当然有多种方式和途径，但谁也无法否认，形式化表达是其主要方式，尤其是书面的、文本的成果展示·

再次，形式化表达是抽象概括、符号表示和推理论证等数学思维过程的重要环节和具体体现，是数学思维能力培养和理性精神启蒙不可或缺的手段·“数学家在纯粹数学的研究中，借助于明确的定义去构造相应的量化模式，并以此为直接对象去从事纯形式的研究·”虽然教师教数学、学生学数学与数学家研究数学在数学形式化的“质”与“量”有很大的区别和不同，但有一点是肯定的：数学思维活动的展开离不开数学的形式化表达·最后，从非功利的人的素质和精神层面的发展、累积来看，形式化表达有助于将对事物的形式与本质思考导向哲学高度，提升智慧·形式与本质的概念属于哲学范畴，上溯古希腊，以亚里斯多德的《形而上学》为源；近窥现代数学，有希尔伯特“形式主义流派”为盛·随着数学学习、研究的深入，必然会提升到哲学层面的探索与思考，历史上的大数学家像牛顿、莱布尼茨、希尔伯特、罗素、爱因斯坦等同时也是哲学家·我们的数学教师和学生，达不到这些大家思想的深度、高度和厚度，但“哲学就是爱智慧”，人人可以爱智慧，人人应该爱智慧·

2·数学教学如何实践“学习形式化的表达”

数学教学如何实践“学习形式化的表达”这一要求呢？适当地了解形式（化）、本质的概念、联系、关系固然有益，但从以下几个方面入手可能更重要、更实在：以数学概念、法则、结论等具体知识为载体，特别是核心知识和内容，通过内核挖掘、表征选择等不断经历形式化过程；以数学特有的、具体的语言运用，如集合语言、算法语言、向量语言和逻辑用语等进一步在“语言”层面学习形式化表达；在公理和定理链条、具体数学方法的结构、体系中了解、学习形式化表达；问题解决过程中通过推理与证明来学习形式化表达等·

（1）在数学核心概念、重要法则和结论构建过程中学习形式化的表达·

世界知名几何学家伍鸿熙教授在文3中提出了数学的五个基本原则，其中原则1是“每个数学概念必须精确定义，而定义是构成逻辑推理的基础·”在文中他沉重地指出目前中小学数学忽略定义已非常严重（这也被章建跃老师认同的，见《数学课要教数学》）·“每个数学概念必须精确定义”在中小学数学可能难以做到（主要是基于学生学习的可接受性），但对核心概念还是要提出“精确定义”要求，章建跃老师主持的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题，对核心概念教学进行了深入、系统和卓有成效的研究，构建了概念教学“7环节”模式，指出概括是概念教学的核心，下定义（位于第4环节，“用准确的数学语言表达”即形式化表达）建立在概括（即得到概念的本质属性）的基础之上；张乃达先生在《教学设计与案例分析》一文中提出数学概念的建构必须经历“问题情境→观念（胚胎）→概念”过程，指出“从观念‘粗胚’到概念‘定义’是一个形式化过程”·两位老师给我们指出了什么是概念学习的形式化表达：即用准确（精确）的数学语言表达观念或本质属性；同时也指出了形式化表达的时机和方法：即从朴素的观念粗胚到严格的形式化的定义转换，在共同本质特征概括基础之上用精确的数学语言表达·笔者认为，在概念中学习形式化表达还有两点是需要注意的：一是将概念的形式化表达既视为一个确定的对象又需关注它表述过程中的动态修正完善，对于后者意味着在教学中要尽可能让学生用他们自己的话和方式多次的、反复的、多角度的表达；二是尽可能让学生认识、体会形式化表达的必要性和作用，这就要求教师精心设计问题和例子·下面所举案例，仅重点探讨学习形式化表达，不及其余；虽探讨的是概念教学，但对法则和结论教学也基本相仿·

案例1：函数的单调性·

活动1：从图形语言到自然语言表述·

教师用PPT展示一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图像，要求学生观察、描述图像的“升降变化”规律·

活动2：从数表语言到文字语言描述·

教师用PPT展示一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2关于x、y值的对应表，要求学生从自变量x取值大小变化刻画对应函数值y的大小变化规律·

活动3：将文字语言转换成符号语言·

前面两个活动应视为不断形式化的有机组成部分，是观念粗胚形成、单调性本质属性抽象概括的重要阶段·活动3则进入概念形式化实质阶段，包括用区间限定自变量范围（单调性是在区间上讨论的）、用不等式表示大小关系、关键词“任意”、定义呈现的逻辑结构“如果…，那么…”等不断琢磨、精确化·具体操作时，可先给出增函数的定义，再让学生模仿给出减函数的定义；先让学生自己尝试定义，再正式给出教材中规范的形式化定义·

活动4：证明函数f（x）=x2+1在（0，+∞）上是增函数·

给出一个简单的函数证明它的单调性是有必要的，除了直接巩固单调性概念，学会用形式化定义证明之外，还可通过学生板书过程及其暴露出的种种问题来规范、澄清一些认识：图像不能替代证明、说理不是推理、概念是证明的出发点等·

（2）以数学特有的、具体的语言运用，在“语言”层面学习形式化表达·

对于数学语言，大家熟悉的分类是文字语言、符号语言和图表语言，在高中课程，还需要学习更为具体的数学语言，如集合语言、算法语言、向量语言和逻辑用语等·首先，这些具体语言有其规范的形式要求和特定的意义指向；其次，学习这些语言，其中一个主要目的是为了更好地、准确简洁地表述和刻画数学对象、数学内容·课标指出：“高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力·”“体会算法的基本思想……发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力·”“能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题……”“体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流·”所以，应将这些语言学习看成是对数学形式化表达的一种要求·如课标对算法的“说明与建议”中提出“本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现·”

案例2：秦九韶算法·

高中数学课程对算法形式化地表示一般经历自然语言表述→程序框图→程序语句·以秦九韶算法为案例，具体内容参看人教A版必修3P39·

（3）在公理和定理体系、具体数学方法结构中了解、学习形式化表达·

新课程将立体几何内容作了很大的调整，改变了以往由公理到定理的演绎体系，消弱了对该内容形式化要求，但作为数学老师，还是可以适当介绍、渗透一些公理化思想，让学生知道这一形式化系统（齐民友语）·［4］相对于消弱立体几何公理化思想与形式化要求，与之对应引人关注的一大变化则是专门设置“推理与证明”章节（选修1-2和选修2-2）、模块4-1几何证明选讲、4-5不等式选讲：不仅学习演绎推理，还要学习合情推理；不仅学习直接证明方法（综合法、分析法等），还要学习间接法（反证法）；不仅在不等式选讲中介绍（甚至与必修5、选修2-2内容重复）证明不等式的基本方法，又在几何证明选讲中从几何关系、性质角度提出证明要求·学生学习这些方法，当然要熟悉它的结构、陈述形式，这是相对集中学习形式化表达的机会，有利于学生表达清晰、思考更有条理·

案例3：演绎推理的“三段论”·

先通过具体例子介绍“三段论”结构，具有如图1所示的形式·

图1

再要求学生通过正反例子练习、思考、辨别，获得“三段论”推理形式的正确认识：只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的；推理形式正确，大前提错误则结论错误（人教A版选修2-2P80“思考”）；“推理形式正确，大前提正确，结论正确，但小前提不是大前提的‘子集’”是伪证明（人教A版选修2-2P81练习3）·

（4）在问题解决过程中以推理与证明为核心来学习形式化表达·

数学教学离不开问题解决，伍鸿熙教授五个基本原则的原则3是“每一个断言都能用逻辑推理来证实，推理是数学的命脉，是解决问题的平台·”在文3中对此还指出：就中小学数学中经常缺乏推理而言，如果教师们还没有经过培训去让学生持续地使用逻辑推理，我们怎么能要求学生解决问题呢？据此，一方面看出“推理与证明”对问题解决的重要性，另一方面却是现实的无奈，这是不是受“淡化形式”和“淡化推理与证明”的影响呢？

张乃达先生在文5中从数学文化观和理性精神的教育功能视角指出“数学证明规范是理性探索精神的产物，”“数学证明必须是演绎的证明，这仍然是数学证明的规范，这种规范的确定，正是理性探索精神的胜利！也是数学对人类文化发生重大影响的决定性因素·”认为数学教学“应该坚持演绎证明的要求”，并建议“教学中应该把证明看成是一个过程，一种活动……重视提出问题、提出猜想、验证猜想的过程……再在这个基础上寻求演绎的证明……在证明中，要重视证明思路的探求过程，在证明后，要对证明的过程进行反思，以达到对证明的理解·”

二、结束语

事实上，要真正弄懂什么是数学（乃至一般事物）的形式与本质是很困难的，正如前面的分析，形式与本质的概念属于哲学范畴，实属深不可测，很多东西，数学家们都争论不清（如什么是数学），所以，作为中学数学教师，不必在抽象和形而上学上对此过多“玄思深究”，不要把时间和精力耗费在无谓之争上，相反，关注学生发展，为学生发展谋出路和改进教学才是最实在和最重要的事情·

1·郑毓信·数学方法论［M］·南宁：广西教育出版社，1996·

2·亚里斯多德，著·形而上学［M］·吴寿彭，译·北京：商务印书馆，1983·

3·伍鸿熙·数学的基本原则［J］·数学通报，2012（4）·

4·数学通报编辑·“现代数学及其对中小学数学课程的影响”数学家座谈会纪要［J］·数学通报，1999（11）·

5·张乃达·数学证明和理性精神——也谈数学证明的教学价值［J］·中学数学教与学，2003（6）·F