解中考几何最值问题的突破口到底在何处

拜读了马先龙老师的《构造图形打开解中考几何最值问题的突破口》（以下简称文[1]）一文后，深受启发，特别对如何通过动静结合、巧构图形妙解中考几何最值问题有了深入了解.但也有一些不同的想法，愿与马老师商榷，更希望得到广大同仁斧正.

1商榷之点

文[1]通过六个例题阐述了如何从构造三角形、对称点、垂直于弦的直径、相似三角形和全等三角形入手，寻找解决平面几何最值问题的突破口.对此笔者不敢苟同，因为构造上述图形只是表象，至于“如何构造”和“怎么想到这样构造”，却值得深入探究.

笔者窃以为，从知识转化角度来分析，所有数学习题都是运用所学过的知识加以解决！因此，在初中阶段与平面几何最值有关的知识源才是解决此类问题的突破口，是打开解决平面几何最值问题的思维通道.此类知识源主要有几何类（“两点之间线段最短”、“直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短”、“分别位于两条平行线上的两点之间的最短距离等于两平行线间的距离”、“圆外一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长”等）和代数类（构造出待求量与某一变量的函数关系式，根据函数性质求解）.

2突破之处

2.1以“两点之间线段最短”为突破口

例1（文[1]例2）如，在平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0）、B（2，0）是x轴上两点，则PA+PB的最小值为.

文[1]给出了的辅助线添法（限于篇幅，凡引用文[1]的例题，本文均不再附解答，详细过程请查阅文[1]，下同），并认为“构造对称点”是解决此类问题的突破口，那我们不禁要问：怎么想到构造点A关于直线y=x的对称点A′的呢？

事实上，要求PA+PB的最小值就是求动点P到两定点A、B距离之和的最小值，根据“两点之间线段最短”可知，当点P位于线段AB上时，其和最小；又点P在直线y=x上，所以点P应是两者的交点.但由于A、B位于直线y=x的同侧，没有交点，需利用线段的等量变换，把两点转化到直线的两侧.而常见的等量变换有“平移”、“翻折”和“旋转”，结合条件和图形特征，本题宜选择“翻折”，即作点A关于直线y=x对称点A′，从而使问题迎刃而解.

综上所述，知识源“两点之间线段最短”才是解决此类问题的突破口.

2.2以“圆外一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长”为突破口

例2（文[1]例1）如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上一个动点，连接AP，则AP的最小值是.

本题考生若已知“圆外一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短”这一知识源，作出的辅助线、证明和求值都是水到渠成之举.但对于未学过这一知识源的考生来说，又如何能想到连接AO呢？

考虑到这是属于动点到一定点的距离最短问题，易联想到知识源“直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短”.可惜的是，点P在弧CD（非直线）上运动，且弧CD又无法转化为直线，故只能把突破口放在知识源“两点之间线段最短”上，即在弧CD与点A不同侧的另一侧找一定点，把问题转化为动点P到两定点距离之和最小，由圆的定义自然想到圆心O就是要找的最佳定点，因为无论点P如何运动，OP为定值.

由此可见，文[1]认为“构造如中的三角形是解题的突破口”的观点有些牵强.另外，文[1]中的例3是综合上述两个知识源求解的，本文不再赘述.

2.3以“一次函数性质”为突破口

例3（文[1]例4）如，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积最大值是.

由于四边形MANB是非特殊四边形，所以其面积（设为S）需分割成△ABM和△ABN的面积之和.考虑到AB为两三角形的公共边且长度可求（值为22），故可以AB为底边，过点M、N分别向其作高MC、ND，则S=12AB（MC+ND）.设MC+ND=h，则S=2h.又易知0

综上可知，本题的突破口是如何求出四边形MANB面积的函数表达式，然后再根据表达式确定解题方向，至于构不构造直径，意义不大.

2.4以“二次函数性质”为突破口

例4（文[1]例5）如，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为点B，连接PA.设PA=x、PB=y，则（x-y）的最大值是.

文[1]认为：构造如的与△ABP相似的△CPA是解决此题的突破口，事实果真如此吗？

首先，本题从x-y（即PA-PB）的几何意义入手较为棘手，故考虑从构建函数角度打通思维之路.设t=x-y，因为表达式中除t外还有两个变量x、y，所以代换其中之一已是必然选择，即要利用相等关系找出y与x间的数量关系，代入消元.而平面几何中与两线段有关的相等关系主要有“线段间固有的数量关系（等角对等边、全等三角形对应边相等、三角形中位线定理等）”、“勾股定理”、“比例式（平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质）”和“等积式（图形面积相等）”.本题结合条件和图形特征定位在相似三角形，即通过证明△ABP∽△CPA和利用相似三角形对应边成比例，求得y=18x2，则t=-18（x-4）2+2，故当x=4时，t=x-y的最大值为2.

其次，本题也可不用三角形相似处理.既然是建立t的函数关系式，变量就不一定要选择线段，也可选择角.如设∠PAC=∠APB=θ，则AP=ACcosθ=8cosθ、PB=APcosθ=8cos2θ，所以t=8cosθ-8cos2θ=-8（cosθ-12）2+2，也可得x-y的最大值为2.

由此可见，构造相似三角形未必是本题的突破口，而如何建立函数关系式才是突破思维障碍之所在.

3补全之笔

以上突破口都是文[1]例题所涉及到的，除此之外还有：

3.1以“分别位于两条平行线上的两点之间的最短距离等于两平行线间的距离”为突破口

例5（2012年江苏连云港市）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

问题1：如，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：请问问题1中的平行四边形PCQD的对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.（问题3、问题4略）

解析（问题1解答略）由于问题2中的P、Q两点都是动点，宜考虑用“分别位于两条平行线上的两点之间的最短距离等于两平行线间的距离”知识源求解，即证明P、Q两点分别运动于两条固定的平行线上.又点P在AB上运动，且AB⊥BC，于是联想到“过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H”，下证直线QH为定直线并求出两平行线QH和AB间的距离即可.易证Rt△ADP≌Rt△HCQ，得CH=AD=1，所以BH的长度为定值4，故PQ的长存在最小值，且为4.

3.2以“直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短”为突破口

其实，例5中的问题2用“直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短”知识源求解更简捷.如，设对角线PQ与DC相交于点G，由PQ=2PG知，要求PQ的最小值只需求PG的最小值.显然点G是CD的中点，即为定点，而P为AB上动点，故当PG垂直AB时最短.此时，AD∥PG∥BC，由梯形中位线定理易求PG=2，所以PQ的最小值为4.

4例6之思

例6（文[1]例6）如，正方形ABCD的边长为1，M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2，则△AMN的面积的最小值为.

文[1]通过构造与△AMN全等的△AEN，依据AD=1，从而把求△AMN的面积最小值转化为求线段EN（即MN）的最小值.然后根据勾股定理构造出含有参数t（线段MN的长）且关于x（线段CN的长）的一元二次方程x2+（t-2）x+（2-2t）=0，利用Δ=t2+4t-4≥0，求得t的最小值为22-2，从而得△AMN的面积的最小值为2-1.

反思一怎么想到这样添辅助线？其实，由条件可得MN=BM+DN，而对于三条线段间的数量关系，常常可通过“截长”或“补短”把它们转化为两条线段间的相等关系.

反思二还有其它方法求MN的最小值吗？换言之，就是当Rt△CMN的周长为2时，何时其斜边长MN最短？不妨设MN=c、∠CNM=θ，则c+ccosθ+csinθ=2，即c=21+sinθ+cosθ=21+2sin（θ+45°），易知当θ=45°，即△CMN为等腰直角三角形时，斜边MN取得最小值22-2.由此可得结论：周长为定值的直角三角形，当两直角边相等时，斜边长最短.

反思三一定要构造全等三角形吗？其实，本题的突破口是如何建立△AMN面积（设为S）关于某一变量的函数关系式.由于直接作高不易求出△AMN的面积，故宜采用间接方法.除了象文[1]中利用全等三角形转化外，还可以用割补法求解.设BM=m、DN=n，由S△AMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△CMN-S△AND，得S=1-12m-12n-12（1-m）（1-n），即S=12-12mn.又由CM2+CN2=MN2，得（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2，所以m=1-n1+n.则S=n2-n2（1+n）+12=（1+n）2-3（1+n）+22（1+n）+12=12（1+n+21+n）-1=12（n+1-2n+1）2+2-1，所以当n+1=2n+1，即当n=2-1时，S取得最小值2-1.

总之，数学解题教学不能拘泥于只注重技巧的“怎样做”，而应基于知识转化之下，通过追根溯源，着重讲清“为什么这样做”（即怎么想到这样做）和“同一类型怎么做”.唯有如此，方能真正做到“以题会类”，从而把能力培养和“减负增效”落到实处.

参考文献

[1]马先龙.构造图形打开解中考几何最值问题的突破口[J].中学数学杂志，2014（10）：52-53.

作者简介刘华为，男，1968年10月生，中学高级教师，区学科带头人.发表文章40余篇，并出版专著《中考压轴题：怎样解，为何这样解》.