对一道动点最值问题解法的探究

田传弟

1真题呈现

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是（）.

A.3B.6

C.1+2D.5

2多重猜测

考过之后，因为初次遇到这个题目，几个老师不约而同地聚在一起对最后一道选择题讨论开了.我说：“我的第一感觉告诉我，应该选D.”“为什么选D？”小张老师立即追问.“因为∠ACB=90°，AC=2，BC=1，AB=5，所以我猜想OB的最大值可能与线段AB相等，所以选D.”大张老师接过话头：“田老师说的有道理，但是我不认同，根据这道题的复杂程度应该选一个最复杂的答案，因此我认为应该选C.”郝老师说：“看来每个选项都有可能.”小张老师马上打断：“一定不能选A.”“为什么？”大家不约而同地问.“因为BC=1，OC≤2，根据三角形两边之和大于第三边，所以BC+OC>OB，即OB<3.”大家一致赞同：“不错不错！”“那么选项B如何？”我问.大家迟疑了一会，郝老师说：“对于选项B，看来我们既没有选择的理由，也没有排除的理由.”“是的，”我接着说，“咱们先暂停讨论，各自整理一下自己的思路，动手动笔做做，光这样讨论感觉很肤浅，无法深入，过后再来讨论.”

3二次讨论

大家重新聚拢到一起.

我首先说出了选D的理由：“如图2，设B（a，b），则|a|≤1，|b|≤2，所以OB=a2+b2≤12+22=5，所以选D.”“不对，”郝老师立即反对，“我和你的想法接近，如图2，设B（a，b），则|a|≤1，但应该是|b|≤AB，所以必有|b|≤5，以此可得OB=a2+b2≤12+（5）2=6.所以选B.”“哦！原来我疏忽了|b|的取值范围.”我恍然大悟地说.“我和你们的想法完全不同，”小张老师听了我们的想法后说，“你们的想法静态思考的成分比较大，本题是动点问题，应该从动态的角度研究，我是这样想的，如图3，取AC的中点D，连接OD，DB，OB，则OD=1，BD=2，根据三角形两边之和大于第三边，有OB

4学生对问题的质疑与思维展示

第二天上课的时候，我没有提问学生，直截了当地把昨天教师讨论的正确解法讲了出来.我感觉很得意，再看学生的表情，大多满脸疑惑.“有什么疑问吗？”我说，“有疑问请说.”数学课代表第一个站起来说：“老师，在图3中，为什么取AC的中点D？您是怎么知道的？”我说：“一般地，在解决直角三角形的问题时，我们常常作斜边上的中线作为辅助线从而达到解决问题的目的.这是解题规律.”“这个规律在解决本题时具体体现是什么？”“具体体现是OD=12AC=1是定值.在运动变化的问题中，我们常常通过‘抓住运动中的不变量来解决问题，这也是一个解题规律.”课代表似乎明白了，问道：“老师，本题应抓住哪些不变量？”我说：“你看，OD=1，BD=2，它们就是应抓住的不变量啊.”“老师，AC=2，BC=1，还有AB=5，都是不变量啊？为什么不抓啊？”课代表又这么问.我一愣，想了想说：“因为OD，DB，OB三条线段的关系最密切，在运动的过程中，这三条线段有时构成一个三角形，有时在同一条直线上，当它们在同一条直线上时，OB=OD+DB=1+2即为点B到原点O的最大距离.”我感觉松了一口气.不想，竟然遭到了几乎全班同学的质问：“为什么当它们在同一条直线上时，点B到原点O的最大距离？”课代表还补了一句：“点B到原点O的距离还可能距离最小呢.”我刚松了一口气现在绷得更紧了，这明摆的事情怎么就是不明白呢？并且又产生了新的问题：还可能距离最小？我一时难以回答，怎么办呢？我说：“同学们，咱们请数学课代表上黑板来展示他的解法好不好？”学生们自动地鼓起掌来，课代表开始展示，我接着说，“如果有谁与课代表的解法不同请主动上黑板来.”话音未落，我们班的“数学王子”上来了，同学们又报以热烈的掌声.

课代表的解法：

解：如图2，作BD⊥y轴，垂足为点D，设BD=x（0≤x≤1），则CD=1-x2.一般地应有△AOC∽△CDB，所以COBD=ACBC=2，所以CO=2x，OD=2x+1-x2，则OB2=BD2+OD2=x2+（2x+1-x2）2=4x2+4x1-x2+1，

整理成关于x的有理方程，得32x4-8（OB2+1）x2+（OB2-1）2=0，若线段OB的长存在，则Δ≥0，即[-8（OB2+1）]2-4×32（OB2-1）2≥0，解得（2-1）2≤OB2≤（2+1）2，所以2-1≤OB≤2+1，OB的最大值是1+2（同时还说明OB有最小值2-1）.

数学王子的解法：

解：如图4，作△AOC的外接圆⊙D，过点D作圆D的割线BFE，则BE=DE+DB=1+2，BF=BD-DF=2-1，点B到原点O的最大距离等于线段BE的长即1+2（同时也得到点B到原点O的最小距离等于线段BF的长即2-1）.

两人做完回到座位上，教室内鸦雀无声，突然“问题大王”（因好提问题博得此美称）打破了沉寂：“用判别式求最值的方法我也会，可是我没想到，请问课代表，你是怎么想到的，教教我们吧？”课代表说：“我一开始并没有想到用判别式来解，我是想用求函数的最值方法，但是OB2=4x2+4x1-x2+1并不是我们学过的函数，无法套用函数模型，才把它看作关于x的方程，才有了上面的解法.”一阵掌声过后，有人说道：“数学王子，我对你的解法似懂非懂，希望你能详细讲讲，谢谢.”

“因为AC=2，当点A、C分别在x轴和y轴上运动时，点O始终在以AC为直径的圆D上运动，假如点A，C不动，此时点B也不动，也就是说点A，C，B三点的位置是相对固定的，因而可以设想让点O运动，则点O必定在圆D上运动，我们可以提一个这样的问题：点O在何处时，点B到点O的距离最大？因此问题转化为求点B到圆D上的点的距离的最大值.我们已经研究过，过圆心D作圆D的割线BFE，点B到点E距离最大，点B到点F距离最小.大家明白了吗？”同学们静了一会儿，然后掌声雷动.

5思考与归纳

首先，为什么这个最值如此难算？可以断言，点B的轨迹不可能是二次函数的图象，点B的轨迹是什么样子呢？利用几何画板绘出轨迹，是一条曲线（如图5），是什么曲线？猜测是椭圆，这只是直观上的观察，需要验证.设B（x，y）（-1≤x≤1），则y=2x+1-x2，整理得B的轨迹方程是5x2-4xy+y2=1，轨迹是椭圆.其中心位于原点，半长轴即为点B到原点O的最大距离（如图6），这时原点O位于线段BD的延长线上，半短轴即为点B到原点O的最小距离（如图7），这时原点O位于线段BD上.这样也从直观上解释了当点O，D，B共线时点B到原点O的距离最大或最小的理由.从轨迹是椭圆来看似乎超出了学生的知识范围，也难怪学生对这种三点共线的直观方法法不能认可.数学课代表的解法很复杂，数学王子的解法新颖、奇妙，学生都能接受.经过推敲，发现课代表的解法有瑕疵，当x=0时，OB取最小值为1，原因是x表示BD的长，将x改成点B的横坐标，则-1≤x≤1就严密了.

再次，我们在本题中所取的线段AC的中点D究竟是什么？根据数学王子的解法推测，点D应该是△AOC的外心.如图8所示，直线a，b所夹的锐角为定角α，△ABC的三边长是确定的，点A在直线a上运动，点C随之在直线b上运动，作△AOC的外接圆D，过点B，D作割线BFE，连接DA，DC，则∠ADC=2α，设DA=DC=r，又因为AC边是定长，所以△ADC的大小形状是确定的，而△ABC的大小形状也是确定的，于是四边形ABCD的大小、形状确定，所以线段BD的长确定，设BD=d，则BE=d+r，BF=d-r.这就证明了点B到点O的最大距离等于线段BE的长即d+r，同时也得到点B到原O的最小距离等于线段BF的长即d-r.看来解决这种问题一般方法应概括为外接圆法或外心法.我们来看一例.

例1：（南京市鼓楼区2013—2014九年级上学期数学期末试题）如图9，在直角坐标系xOy中，已知正△ABC的边长为2，点A，点B分别在x轴上和第一、三象限夹角平分线上移动，则点C到原点的最大距离和最小距离分别是.

解析：如图10，作AOB的外接圆P，连接PA、PB，则∠APB=2∠AOB=90°，因为AB=2，所以PA=PB=2，因此，当点A、B分别在x轴和第一、三象限夹角平分线上运动时，点O始终在以2为半径的圆P上运动.设直线CP交圆P于M、N，则线段CM、CN的长即为点C到原点的距离的最大值和最小值.因为PA=PB，CA=CB，所以CP垂直平分AB，设垂足为H，则CH=3，PH=1，所以CM=3+1+2，CN=3+1-2即为所求的最大值和最小值.

上面我们得到了此类问题的一般解法.最后举例来说明一下此类问题在命题时应引起注意的问题.

例2：如图11和图12，直线a，b所夹的锐角∠aOb=30°，点A，C分别在直线a，b上运动，∠ACB=90°，AC=3，BC=2，求点B到点O的最大距离和最小距离.

解：作△AOC的外接圆D，过圆心D和点B作割线交圆D于点E，F，连接AD，CD，则△ACD为正三角形，所以CD=AC=3，即圆D的半径为3.

中，∠BCD=150°，根据余弦定理可得BD=13+63.则点B到点O的最大距离和最小距离分别是13+63+3和13+63-3；

在图12中，∠BCD=30°，同理可得点B到点O的最大距离和最小距离分别是3+13-63和3-13-63.

相信读者朋友已经看出此题解答过程和结果的异同，我们尤其要注意结果因图而异，在图11中，A，B，C三点是按逆时针方向排列的，这时点B在圆D外；在图12中，A，B，C三点是按顺时针方向排列的，这时点B在圆D内，因此它们的结果不同.所以我们在分析这类题目时不要把图画错了，即不要弄错了点的排列顺序.为了不引起歧义，我们建议命题时加上“A，B，C三点是按顺（或逆）时针方向排列的”条件，使得问题更加严密.