利用圆的一个结论求一类线段最值

邓文忠

圆中有一个结论，利用该结论可以求一类线段的最值.

结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中，当线段所在直线过圆心时取得最值.

如图1、图2，若点P不在⊙O上，射线OP交⊙O于B，射线OP的反向延长线交⊙O于A，则点P到⊙O上各点之间的线段中，PB最短，PA最长.

简证设点Q为⊙O上异于A、B的任一点.如图1，当点P在⊙O内时，PB=OB-OP=OQ-OPPQ，即PA最长.当点P在⊙O外时，证明留给读者.

例1如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D在边AC上（不与A、C重合）且AD=4，连接BD，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，则线段CF长度的最大值为，最小值为.

解析在Rt△ACB中，AB=62+122=65.在Rt△DCB中，由斜边中线的性质得CF=12BD.要求线段CF长度的最值，只需求线段BD长度的最值.由题意，点D在以A为圆心、4为半径的圆上，如图3.设⊙A交AB于点M，交BA的延长线于N.

线段BD长度的最小值为BM=AB-AM=65-4；最大值为BN=AB+AN=65+4.所以线段CF长度的最大值为35+2；最小值为35-2.

点评依据旋转点到旋转中心的距离不变想到了构造圆，转化为点与圆的最值问题.

例2（2012义乌）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.

（1）如图4，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图5，连接AA1、CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图6，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

解析（1）∠CC1A1=90°；（2）254；

（3）如图7，由旋转变换的性质知动点P1在以点B为圆心、BP为半径的圆上，而点E是个定点，故当直线EP1过圆心B时取得最值.

如图8，过点B作BD⊥AC，D为垂足.因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上.在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=522.

①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为EP1=BP1-BE=BD-BE=522-2；

②如图9，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为EP1=BP1+BE=5+2=7.

点评依据旋转点到旋转中心的距离不变想到了构造圆，转化为点与圆的最值问题.图中圆可以不画，但画出来更让人容易理解本质.

例3（2013武汉）如图10，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.

解析易证△ADG≌△CDG和△ABE≌△DCF得∠DAG=∠DCF=∠ABE.易得∠AHB=90°，所以动点H在以AB为直径的圆弧上.如图10，设AB的中点为O，以AB为直径画圆弧.此时问题转化为定点D到圆上一动点H间的最值，当直线DH过圆心O时有最值.

连接OD交圆弧于H′.线段DH长度的最小值=DH′=OD-OH′=22+12-1=5-1.

点评由90°想到了“直径所对的圆周角等于90°”，因而构造辅助圆，转化为点与圆的最值问题.本题得出∠AHB=90°很关键，否则难以联想到圆.这也告诉我们，解题时应充分挖掘题目中所隐含的信息，进行合理的联想，从而寻找到解题的切入点.

例4（2014海淀二模）在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a

（1）如图11，若D在△ABC内部，请在图中画出△FCE；

（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；

（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）.

解析（1）略；（2）BE=b2-a2；

（3）由平移性质得EF=AD=a，故点E在以F为圆心、a为半径的圆上.如图12，设⊙F交BF于点E1，交BF的延长线于E2.由结论知线段BE的长度最小时为BE1的长；最大时为BE2的长.将⊙F及直径E1E2平移至点A处，使点F、E1、E2分别对应A、D1、D2.所以当线段BE的长度最小时，∠BAD即∠BAD1=∠CFB=∠BAC=α；当线段BE的长度最大时，∠BAD即∠BAD2=180°-∠BAD1=180°-α.

点评由圆的定义构造圆，再应用结论，结合平移使问题圆满解决.

例5（2014成都）如图13，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.

解析由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得A′M=AM=DM，故点A′在以AD为直径的圆上.如图14，以点M为圆心、AM为半径画⊙M；过点M作MH⊥CD于H.由结论知，当点A′在CM上时，A′C长度取得最小值.在Rt△MHD中，DH=DM·cos∠HDM=12；MH=DM·sin∠HDM=32.在Rt△MHC中，CM=MH2+CH2=322+522=7.所以A′C=7-1.

点评在折叠过程中，始终保持动线段A′M=AM=DM，由圆的定义自然联想到构造圆，再应用结论化难为易，使问题轻松获解.不难想象，若如没想到圆，则难度较大.