概率积分法预计参数反演方法研究进展

朱晓峻 郭广礼 方 齐

(1.国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏 徐州 221116；2.江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏 徐州 221116)

·矿山测量·

概率积分法预计参数反演方法研究进展

朱晓峻1，2郭广礼1，2方 齐1，2

(1.国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏 徐州 221116；2.江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏 徐州 221116)

概率积分法是我国矿山开采沉陷预计的主要方法，其预计的精度直接取决于参数的准确性，如何利用合适的方法准确稳定地求取预计参数是实际应用中的关键问题。全面总结了概率积分法预计参数反演的常用方法并分析了各种方法的优缺点，着重介绍了具有全局搜索能力遗传算法在参数求取中的应用。最后，从概率积分法求参误差、求参准则、求参范围、参数相关性及其模型的非线性等角度，提出概率积分法预计参数求取中存在的问题及需要进一步研究的内容。

概率积分法 参数反演 研究进展

地下矿石被采出后，开采区域周围岩体的原始应力平衡状态受到破坏，应力重新分布，达到新的平衡过程中，岩层和地表产生连续的移动变形和非连续的破坏，这种现象叫做开采沉陷。它影响和破坏到了内部岩体和地面上的一些生产和生活设施，对地表的沉陷预计是开采沉陷学的核心内容之一，可以根据预计结果指导实际工作，采取相应的防灾措施。

基于随机介质理论的概率积分法，是我国目前较成熟应用最为广泛的预计方法之一， 该方法理论成熟，易于计算机实现，被广泛应用于矿区地表沉陷预计。目前，获得概率积分法参数主要通过在工作面上方建立地表移动观测站，通过对观测站数据进行处理获得该工作面的概率积分法参数，以指导邻近工作面或者相似地质采矿条件的开采沉陷预测。根据观测资料求取的参数精度决定了其预计精度，所以，如何利用合适的方法准确稳定地求取预计参数是实际应用中得关键问题。

本文总结了概率积分法参数求取的常用方法，对各种方法的适用条件及其优缺点进行了分析，并着重介绍了具有全局搜索能力遗传算法在参数求取中的应用。最后，从概率积分法求参误差、求参准则、求参范围、参数相关性及其模型的非线性等角度，提出概率积分法预计参数求取中存在的问题及需要进一步研究的内容。

1 概率积分预计参数反演方法及其优缺点

概率积分法预计参数反演方法大致经历了线性近似法、实验设计方法反演到优化算法、智能算法的过程。线性近似法是将概率积分函数进行线性化，即将其展开成泰勒级数，取其一次项，而略去二次以上的各项。线性近似法主要有最小二乘法迭代法、高斯-牛顿法，最速下降法等，但由于概率积分函数复杂且非线性强度较强，求取参数对初值十分敏感，求解结果容易发散，致使一些学者尝试利用优化算法及其智能算法对概率积分法参数进行求取。吴侃等[1]采用基于寻优原理的模式法求参，取得较为准确可靠的参数，但其方法仍然对参数的初值要求很高，不合适的初值往往使参数求解陷入局部最优解。随着近几年来智能算法的发展，遗传算法、神经网络、模拟退火等一些智能算法相继被应用到解决概率积分法参数估计问题中。下面对在概率积分法中常用的方法进行总结及优缺点进行分析。

1.1 线性化近似求参

线性化近似求参方法采用线性近似的思想对概率积分法进行线性化，再基于最小二乘最小化原则进行参数求取。

该方法的优点：求出的参数比较准确。缺点：对实际观测站的布设形式要求比较高，如果不符合类型规定，就无法求出参数；只适合矩形工作面，对任意工作面无法求解；并且对求参的初值要求比较高，一旦初值选择不合适，求解参数时容易发散。

为了改进该方法因初值选取不当而造成参数求取失败的问题，文献[2]采用对初值进行正交设计的方法，在较少的试验次数内较快逼近参数真值，减小了初值选取对使用者的经验要求，扩大了求参方法的适用范围。但该方法计算步骤较繁琐，难以推广。

1.2 正交试验设计法

正交试验设计法是研究多因子多水平的一种设计方法，它可以根据正交性原理，从大量的试验中挑选出部分有代表性、典型的点进行试验，从而大量减少试验次数又可比较全面地反应试验结果。

该方法优点：较好地解决了根据实测值求取任意形状工作面的参数和选择初值不合理而导致求参失败的问题。缺点：由于试验参数不断迭代，因而较难得到满意的参数值，而且参数个数较多时正交表太大，试验次数太多，所以预计工作量较大，求取参数速度较慢；正交试验只是从理论上用较少的试验模拟全部试验，所以得出的只是参数的近似值。

1.3 模矢法

模矢法亦称步长加速法，是一种求取非线性无约束最优解问题的算法，由胡克和基夫斯于1961年提出。该方法将参数组当作一组矢量，通过改变寻优的方向和寻优的步长来寻找一组最优的参数组。

优点：易于编制计算机程序，且具有追寻谷线(脊线)加速移向最优点的性质，并且利用此方法可以对任意形状工作面测得的数据进行求取。缺点：由于为了求取参数而采用的误差函数是一个比较复杂的目标函数，这样求解过程会陷入局部极值陷阱，把局部最优解误认为全局最优解。所以这种方法对参数初值也有一定要求，并且有时在求解过程中算法无法收敛。

文献[3]在模矢法的基础上针对参数求解过程中实测数据的粗差常导致参数求取不稳定的问题，提出基于稳健估计的参数反演方法，在一定程度上提高了参数求取的精度。

1.4 神经网络及支持向量机法

人工神经网络[4]特有的非线性适应性信息处理能力可以通过学习来获取外部的知识并存储在网络内，在其他科学领域广泛应用。

人工神经网络参数反演方法是在已知概率积分法参数的地质采矿因素的基础上，建立神经网络或支持向量机的概率积分法参数计算模型，然后再利用建立好的模型根据地质采矿条件求取概率积分法参数。文献[5]利用神经网络求取预计参数，下沉系数计算的相对误差为0.63%，水平移动系数计算的相对误差为5%，主要影响角正切计算的相对误差为0.93%，拐点偏移距计算的相对误差为12.6%，开采影响传播角计算的最大绝对误差为1.479 4°。文献[6]所有计算结果误差均小于3倍中误差，最大相对误差9.6%。尽管该方法从测试实验结果上有较好的精度，但由于神经网络模拟的一个黑箱子过程，无法了解其中的处理过程，在实际工程中难以判别其精度，导致其实用性较小。

1.5 遗传算法

遗传算法是模拟自然界中生物进化的过程，基于适者生存的法则，通过选择、交叉和变异等操作实现种群的寻优过程，适合于复杂非线性系统参数估计。遗传算法包括参数编码、初始种群生成、个体适应度检测、选择操作、交叉操作和变异操作等6个步骤。遗传算法基本原理及实现步骤详见文献[7]。该方法由于其在参数反演方面的优越性，已在各个学科领域获得广泛应用。

概率积分法函数形式具有较强的非线性强度，参数之间具有相关性导致其反函数难以求取、求解过程对迭代初值依赖性强、容易陷入局部最优值。遗传算法的初值为拟进化的种群，属于多点并行解法，有效避免算法对单一初值的依赖性；同时计算过程中通过交叉、选择、变异等遗传算子，有效避免算法陷入局部极小值。从这一角度讲，遗传算法对概率积分法预计参数反演问题具有较强的适应性。

文献[8]采用遗传算法解决概率积分法参数求取过程中对初值依赖性大、易于陷入局部最优解及迭代发散问题，同时从遗传算法进行概率积分法预计参数反演的准确性、可靠性、抗粗差干扰、抗观测点缺失等几个角度研究了该算法参数反演的可靠性，并结合一个工程实例与直接反演、优化反演的代表性算法进行了对比分析。研究结果表明：遗传算法反演概率积分法预计参数精度高，参数相对误差小于1.5%，对观测站中的观测值随机误差、粗差、观测点缺失的问题具有较强的抗干扰能力，较线性近似法、模矢法在求参的准确性和可靠性方面有明显优越性。

该方法的优点：限定预计参数的范围，无需选定初值，防止计算发散；具有全局搜索能力，避免陷入局部最优解；对实际观测站的点位位置要求比较低，并可以求取任意工作面形状的参数。但利用遗传算法求取概率积分法参数时，同样带来了所有应用遗传算法共有的问题——后期收敛慢和局部搜索能力差。后期收敛慢和局部搜索能力较差指遗传算法后期，在种群中个体的多样性降低，每个个体的适应度都较高且较为平均，从而使个体之间出现近亲遗传交叉，群体进化能力丧失，从而使得算法在后期难以搜索到最优解，计算步骤也急剧增加。随着遗传算法在各领域的应用，出现不少针对这一突出问题的解决方法，如结合模拟退火的遗传算法、自适应遗传算法及其其他改进算法。

综合分析以上概率积分法参数反演方法的优缺点,见表1。

2 概率积分法预计参数反演方法存在问题分析

2.1 概率积分法模型误差

概率积分法预计参数求取过程中，误差可分为两大类：一种是模型误差，另一种是参数误差。而模型误差也可分为3种：第1种因工作面不充分采动而引起求取的参数偏离实际值；第2种特殊地质构造下，地表移动变形不再符合概率积分法预计曲线，从而导致的预计参数求取误差；第3种由于本身概率积分法模型的缺陷而导致与实际地表移动变形不完全吻合。针对概率积分法模型的误差，不少学者对其进行了深入的研究，但仍存在一些问题，下面分别从模型误差的3个方面对其进行说明。

表1 常用参数反演方法对比

(1)因工作面不充分采动引起的预计参数误差。由于概率积分法是基于随机介质理论模型建立起来的，而实际岩层力学特性往往不能都等效成随机介质。当工作面达到充分采动或大范围采动时，岩层结构对地表沉陷的控制不起决定性作用，此时概率积分法的预计效果比较好；而当工作面是非充分采动时，工作面上方的关键层或坚硬岩层对地表有一定控制作用，此时使用概率积分法预计地表移动变形有一定偏差。吴侃[9]针对工作面极不充分或非充分时预计结果与实测结果某些方面不符的情况，在许多实测资料的基础上得出小工作面的预计参数与采动程度系数之间的经验公式。

对逆变器与DC/DC的级联系统建立MATLAB/Simulink仿真模型，其中电感值设置为4 mH，电容值设置为8 000 μF，内阻0.044 Ω，电池侧直流电压为1 100 V，直流环节侧的期望电压设置为1 500 V。

(2)特殊地质构造下预计误差。概率积分法模型只考虑上覆岩层为均质颗粒介质，对不同特殊地质采矿条件的情况未加详细探讨。当工作面上方岩层存在巨厚冲积层、断层、褶曲等具体地质构造时，由于地质构造对地表沉陷的影响，使地表移动曲线不再符合概率积分法模拟的移动曲线。近些年来，不少学者对特殊构造的预计模型进行了研究。何万龙[10]在分析西部各省山区煤矿地表移动观测资料基础上，提出了在概率积分法预计模型预计沉陷上加上因山区倾斜造成的山区地表滑动变形的山区沉陷预计模型；李永树[11]建立了背斜构造情况下沉陷预计模型；张向东[12]将冲积层视为随机介质，将基岩看成黏弹性基础上的黏弹性梁，在此基础上建立了厚冲积层下地表沉陷预计模型；余华中[13]将上覆岩体分为基岩和冲积层两部分，对于基岩按传统概率积分法预计，在地表沉陷预计时，将基岩下沉作为输入，认为地表下沉是由基岩与冲积层接触部分的“变采厚开采”引起的，从而建立了厚松散层下开采沉陷预计模型。

(3)概率积分法本身缺陷引起的误差。吴侃[14]针对概率积分法存在水平移动预计曲线收敛过快、充分采动区内水平移动不为零等问题，在对大量实测数据分析的基础上，提出采用多项式修正方法对水平移动曲线、充分采动区内水平移动和水平变形曲线进行修正。

2.2 概率积分法参数误差

概率积分法参数是根据地表移动观测站实测资料求取得到的，移动观测站的观测精度直接影响到概率积分法参数的准确性。文献[15]只对采用模矢法求参时观测线上观测点的缺失、不规范观测资料对求参的精度进行了研究，但未对测量误差、测量粗差及其粗差的位置对求参的精度进行深入研究。

在各种方法求取概率积分法参数时，基本都采用拟合中误差对其求参结果好坏进行评判，但观测资料中不可避免带有观测误差以及观测粗差，这将导致个别情况参数求取时拟合效果十分好，但求取的参数却脱离实际物理范围。针对该问题仍需从如下几方面进行研究：

(1)将稳定估计的理论融入求参的方法中去，在观测资料出现观测粗差或精度不高的点时，降低其点的权重，从而提高整体求参的精度。

(2)求取参数过程中，应该对参数范围加以限制，当迭代过程中参数超出限定的范围时停止迭代或采取某种措施。

(3)拟合中误差只是评判参数反演方法对实测资料的拟合好坏的指标，且各观测点的实测变形值的权重不全相等，所以拟合中误差不能等同于单位权中误差来评判求参结果的精度，需重新确定一个指标来评判求参的精度。

2.3 概率积分法求参准则

在所有求参方法中，基本采用[VV]=min或[|V|/W]=min作为选取最优参数的准则。[VV]=min求参准则侧重于减小误差V，而在移动边界附近的移动值很小，在工作面上方的移动值很大，以及从文献[8]中看出位于工作面上方的移动值往往对求参结果影响大，而位于边界处的移动值对求参结果影响不是很大，这将导致不同位置实测点的相对误差不均匀以及不同位置点的“权重”不一样，工作面上方相对误差较小权重大，移动边界附近相对误差很大权重小，最终工作面上方的拟合效果比边缘的拟合效果要好。而采用[|V|/W]=min求参准则侧重于减小相对误差V，虽然其相对误差均可以反映出来，但这样移动边界附近的误差会较大，这些误差会对求取的参数误差有很大的影响。由于在实测之中拐点处和最大下沉值处附近的点对求取的参数影响很大，决定了概率积分法的可靠性，所以无论采用[VV]=min还是[|V|/W]=min的方法实际上都造成了各测点不等“权”的现象，从而如何根据实测点位于工作面不同的位置而定其权重是进一步需要研究的内容。

2.4 面域数据的概率积分法参数求取

随着三维激光扫描技术及INSAR技术应用到沉陷监测中，矿区沉降观测数据不再是几条观测线上的线数据，而是庞大区域的面数据。这些面域数据精度往往传统水准测量的精度低，但它们其中包含的信息量远远大于传统测量手段换取的信息，如何利用面域数据研究地表移动规律及其求取预计参数是进一步研究的方向。

2.5 概率积分法非线性研究

测量中所涉及的函数模型大部分都是非线性模型[16]，处理此类非线性模型时，传统的方法是将其进行线性化近似。这样的近似会带来如下以下问题：

(1)现有的测量精度的提高，测量误差往往小于或等同于线性近似带来的误差，致使线性近似化引起较大的模型误差。

(2)有些非线性模型对参数的近似值十分敏感，若近似值的精度较差，线性近似时就可能会产生较大的模型误差甚至导致解算结果发散。

(3)由于没有顾及线性近似所引起的模型误差，有时用线性模型的精度评定理论去评定估计结果的精度，会得到一些虚假的优良统计性质，人为地拔高估计结果的精度。

在求取概率积分法参数时，常常因为初值选取不当而引起求参精度不高，说明概率积分法函数具有较强的非线性强度。而目前对于求参方面的研究仅仅局限于求参方法的研究，在概率积分法函数非线性模型上少有研究。所以，对概率积分函数本身的非线性的特性(非线性强度、固有非线性、参数效应非线性)以及其和适定性(唯一性、稳定性)需进一步研究，只有在此研究基础上才能确保求取的参数准确稳定。

2.6 概率积分法参数相关性研究

从文献[17]看出，概率积分法预计参数都与回采区尺寸相关，说明在概率积分法模型中预计参数是相关的。概率积分法模型中参数相关(尤其是在非充分采动情况下)对其参数反演结果有着较大影响，将导致在参数求取结果的不适定性(即求参结果多值性)。如何处理概率积分模型中参数相关性问题、减小参数反演结果的不确定性也是需要进一步研究的问题。

3 结 论

根据地表移动监测站数据反演概率积分法预计参数是这一方法应用过程中的关键问题。本文总结了常用的概率积分法参数反演方法并指出存在的问题，对比了基于线性近似法、模矢法和遗传算法的概率积分法预计参数反演方法，从求参的准确性和稳定性角度来讲，遗传算法优于线性近似法和模矢法求参效果；从概率积分法求参误差、求参准则、求参范围、参数相关性及其模型的非线性等角度，提出概率积分法预计参数求取中存在的问题及需要进一步研究的内容。

[1] 葛家新.地表沉陷预计参数求取及其分析[J].矿山压力与顶板管理，2004(1):78-79. Ge Jiaxin.The surface subsidence predicted parameter calculating and analysis[J].Mine Pressure and Roof Management，2004(1):78-79.

[2] 查剑锋，贾新果，郭广礼.概率积分法求参初值选取的均匀设计方法[J].金属矿山，2006(11):27-29. Zha Jianfeng，Jia Xinguo，Guo Guangli.Uniform design method for initial value selection in parameter determination by probability-integral method[J].Metal Mine，2006(11):27-29.

[3] 郭广礼，汪云甲.概率积分法参数的稳健估计模型及其应用研究[J].测绘学报，2000，29(2):162-165. Guo Guangli，Wang Yunjia.Study of robust determining parameters model for probability-integral method and its application[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2000，29(2):162-165.

[4] 刘永红.神经网络理论的发展与前沿问题[J].信息与控制，1999，28(1):31-46. Liu Yonghong.The development and forword problems of neural network theory[J].Information and Control，1999，28(1):31-46.

[5] 郭文兵，邓喀中.概率积分法预计参数选取的神经网络模型[J].中国矿业大学学报，2004，33(3):88-92. Guo Wenbing，Deng Kazhong.Artificial neural network model for predicting parameters of probability-integral method[J].Journal of China University of Mining & Technology，2004，33(3):88-92.

[6] 李培现，谭志祥，闫丽丽，等.基于支持向量机的概率积分法参数动态时序预报[J].煤炭学报，2011(S2):380-385. Li Peixian，Tan Zhixiang，Yan Lili，et al.Time series forecasting of probability integration method parameters based on support vector machine[J].Journal of China Coal Society，2011(S2):380-385.

[7] 王小平，曹立明.遗传算法——理论、应用与软件实现[M].西安:西安交通大学出版社，2002. Wang Xiaoping，Cao Liming.Genetic Algorithm：Theory，Application and Software Implementation[M].Xi'an:Xi'an Jiaotong University Press，2002.

[8] 查剑锋，冯文凯，朱晓峻.基于遗传算法的概率积分法预计参数反演[J].采矿与安全工程学报，2011，28(4):32-36. Zha JianFeng，Feng Wenkai，Zhu Xiaojun.Research on parameters inversion in probability integral method by genetic algorithm[J].Journal of Mining and Safty Engineering，2011，28(4):32-36.

[9] 吴 侃，葛家新，周 鸣，等.概率积分法预计模型的某些修正[J].煤炭学报，1998，23(1):35-38. Wu Kan，Ge Jiaxin，Zhou Ming，et al.Some modifications of using probability integral method to predicate model[J].Journal of China Coal Society，1998，23(1):35-38.

[10] 何万龙，孔照璧.山区地表移动及变形预计[J].矿山测量，1986(2):24-30. He Wanlong，Kong Zhaobi.Mountain surface movement and deformation prediction[J].Mining Survey，1986(2):24-30.

[11] 李永树，王金庄.背斜构造矿层开采地面沉陷规律研究[J].岩土工程学报，1998，20(6):67-69. Li Yongshu，Wang Jinzhuang.Surface subsidence patterns for mining ore seam with anticlinal structure[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1998，20(6):67-69.

[12] 张向东，赵瀛华，刘世君.厚冲积层下地表沉陷与变形预计的新方法[J].中国有色金属学报，1999，9(2):435-440. Zhang Xiangdong，Zhao Yinghua，Liu Shijun.A new method of calculating surface subsidence and deformations under thick alluvial soil[J].The Chinese Journal of Nonferrous Metals，1999，9(2):435-440.

[13] 余华中，李德海，李明金.厚松散层下开采预计的概率积分法修正模型[J].焦作工学院学报：自然科学版，2004，23(4):14-18. Yu Huazhong，Li Dehai，Li Mingjin.Correction model to probability integration method in mining under thick alluvial[J].Journal of Jiaozuo Institute of Technology：Natural Sciences Edition，2004，23(4):14-18.

[14] 吴 侃，靳建明，戴仔强.概率积分法预计下沉量的改进[J].辽宁工程技术大学学报，2003，22(1):20-22. Wu Kan，Jin Jianming，Dai Ziqiang.Improvement on probability integral method prediction come down quantity[J].Journal of Liaoning Technical University，2003，22(1):20-22.

[15] 吴 侃，葛家新.开采沉陷预计一体化方法[M].徐州：中国矿业大学出版社，1998. Wu Kan，Ge Jiaxin.Mining Subsidence Prediction Integration[M].Xuzhou:China University of Mining and Technology Press，1998.

[16] 王新洲.非线性模型参数估计理论与应用[M].武汉:武汉大学出版社，2002. Wang Xinzhou.Nonlinear Model Parameters Estimation Theory and Application[M].Wuhan:Wuhan University Press，2002.

[17] 国家煤炭工业局.建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程[M].北京:煤炭工业出版社，2005. National Coal Industry Ministry.Coal Pillar Design and Mining Regulations under Buildings，Water，Railways[M].Beijing:China Coal Industry Press，2005.

(责任编辑 石海林)

Recent Progress on Parameter Inversion of Probability Integral Method

Zhu Xiaojun1,2Guo Guangli1,2Fang Qi1,2

(1.NASGKeyLaboratoryofLandEnvironmentandDisasterMonitoring，Xuzhou221116，China;2.TheMainLaboratoryofResourceEnvironmentInformationofJiangsu，Xuzhou221116，China)

Probability integral method is the main method of predicting mining subsidence，and its prediction accuracy directly depends on the accuracy of the parameters.How to use the right methods to accurately and stablly calculate the expected parameters is the key issue in practical application.The probability integral method commonly used in parameter inversion is summarized and the advantages and disadvantages of various methods are analyzed.Then the global search ability of genetic algorithm applied in parameter calculation is emphatically introduced.Finally，the existing problems and the further research tasks in the probability integral method to predict parameters are put forword from the aspects of error，and principles and scope，parameters correlation in probability integral method and the nonlinear of the model.

Probability integral method，Parameter inversion，Research progress

2015-02-09

“十二五”国家科技支撑计划项目(编号：2012BAB13B03)，江苏高校优势学科建设工程项目(编号：SZBF2011-6-B35)，江苏省资源环境信息工程重点实验室基金项目(编号：JS201309)。

朱晓峻(1989—)，男，博士研究生。

TD17，TD325

A

1001-1250(2015)-04-173-05