求通项公式中的“当当”

朱秀华

摘 要：根据数列的前n项和与第n项an的关系求数列的通项公式是数列中的一个重要问题，在解题过程中，学生容易忽略Sn-1成立的前提条件是n≥

2（n∈N）而导致错误。本文通过对错解进行分析，说明由数列的前n项和Sn与第n项an的关系求数列的通项公式是一个分段函数。

关键词：数列；通项公式

例：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=Sn-n+3，n∈N，a1=2，求数列{an}的通项公式。

在之前的学习中，我们知道，由Sn=a1+a2+…+

an-1+an得Sn-1=a1+a2+…+an-1，于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，而当n=1时，an=S1，因此an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

但是学生们对于这个分段的关系式掌握不好，经常忽略n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，所以讲课时我特别强调在利用这个关系式时要注意“定义域”，过程中应该出现“当当”。下面是学生们经常犯的错误。

错解一：由Sn=an+1+n-3

得Sn-1=an+（n-1）-3 ①

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

故{an-1}是以1为首项，2为公比的等比数列。

∴an=2n-1+1

在这个解题过程中，完全忽略了①式中Sn-1有意义的前提是当n≥2时，想当然地认为n从1开始取。

错解二：由Sn=an+1+n-3

得，当n≥2时，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1） ②

故{an-1}是以1为首项，2为公比的等比数列。

∴an=2n-1+1

当n=1时，a1=2，符合。

∴an=2n-1+1

这里只是注意了“当当”的形式，而非实质。虽然在式中，注意到Sn-1有意义的前提是当n≥2时，但当n≥2时，n的最小取值为2，所以②式要从a3-1=2（a2-1）开始，没有a2-1=2（a1-1）。那么a2-1=2（a1-1）是否成立需要我们验证。若这个式子成立，则数列{an-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，否则，数列{an-1}是从第二项起的等比数列，即：

an-1=a1-1，n=1（a2-1）qn-2，n≥2

正解：Sn=an+1+n-3

当n≥2时，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

又a2=2-1+3=4，∴a2-1≠2（a1-1）

故{an-1}是从第二项起以2为公比的等比数列。

∴an=2，n=13·2n-2，n≥2

变式：已知数列{an}中，a1=1，前n项的和为Sn，对任意的自然数n≥2，an是3Sn-4与2-Sn-1的等差中项。则通项an=____________。

解：由已知当n≥2时，2an=3Sn-4+2-Sn-1，

故有当n≥3时，2an-1=3Sn-1-4+2-Sn-2，

两式相减得：an=-an-1，

当n=2时，2a2=3S2-2-S1，解得a2=，

即a2≠-a1，所以，数列{an}是从第二项起的等比数列，

所以an=1，n=1--？摇n-1，n≥2

（作者单位：河北省石家庄二中实验学校）