期望效用最大限制下保险公司的最优策略

刘洁　初元红

摘 要：假定保险公司既可以投资在风险资产上，同时又允许混合再保险。用经典的Cramér-Lundberg模型来近似保险公司的盈余过程，考虑在期望效用最大限制下保险公司的最优投资和再保策略满足的方程，证明了解的存在性和最优性。

关键词：期望效用；混合再保；投资

中图分类号：F840 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2015）09-0020-03

一、引言

随机控制理论作为解决动态问题的强有力的工具，在保险方面应用广泛。Hipp and Plum[1]考虑的是经典的Cramér-Lundberg保险公司盈余过程模型，保险公司允许投资于股票市场，风险资产价格过程服从几何布朗运动，在破产概率最小限制下的最优投资策略问题。证明了解的存在性和最优性，在理赔分布服从指数分布时给出了精确解，但没考虑无风险资产和再保险；在无投资时，Schmidli[2]研究了经典Cramér-Lundberg模型中在破产概率最小限制下的最优比例再保险策略；Schmidli[3]考虑的是在经典Cramér-Lundberg模型下保险公司既允许投资又允许比例再保险的情况，但只是证明了在破产概率最小时对应HJB方程解的存在性和最优性；Michael，T.，Charlotte，M.[4]。考虑了保险公司的风险过程为跳扩散模型时，保险公司允许投资在风险资产时和无风险资产时在终值期望效用最大限制下保险公司的最优投资策略和此时对应的目标函数值，同时给出了破产概率最小时对应的HJB方程但没考虑再保险的情况；Irgend，C，and Paulsen，J.[5]，考虑了盈余过程为经典Cramér-Lundberg模型时保险公司允许投资在风险资产和无风险资产，且为了降低风险，允许混合再保时在终值期望效用最大限制下得最优投资和再保问题，而本文要考虑的保险公司允许投资于股票市场且股票的价格过程服从几何布朗运动，同时为了降低风险允许混合再保，即：保险公司允许一部分比例再保，剩下的风险用买超额再保来降低。在期望效用最大限制下考虑保险公司的最优投资和混合再保策略。

二、模型假设

假设以下讨论是在一个完备概率空间（Ω，F，Ft≤T，P）上，其中（Ft）t≤T代表由布朗运动和泊松跳产生的信息流，是T时刻前全部市场信息的集合。保险公司的盈余过程为Yt=x+ct-Zi，其中c为保费率，在这里采用期望值原则来计算。x为初始资本，N（t）为代表理赔次数的泊松过程，强度为λ，μ1=EZi。

保险公司允许连续比例再保，剩下的一部分风险用买超额再保险来承担——混合再保，此时带混合再保的保险公司盈余过程为：Yt=[ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]ds-min{aZi，D}，其中a为比例再保，是关于财富过程Xt的函数，是可料的（即at-1关于Ft-1可测），D为超额再保，（1-a）cq为保险公司支付给再保险公司的一部分委托费，q是个百分比，qXL为负载因子且qXL>1，ρa（D）=E[（aZi-D）+]。

若保险公司允许投资在风险资产，投资钱数为A（t），{At，t≥0}是自融资的适应过程（即交易前后没有资金的注入和撤出，关于Ft可测）且对于所有T<∞满足[At]2dt<∞，a.e.且风险资产的价格过程满足：

dS（t）=S（t）（μdt+σdW（t））

假设无风险资产价格为1，则保险公司此时对应的盈余过程为：

dX（t）=A（t）+[ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]dt-dmin{aZi，D}

因此，对应的无穷小生成算子为：

Lg（t，x）=[μAt+ac+（1-a）cq-λqXLλρa（D）]gx+A2σ2gxx+λE{g[x-min{aZi，D）]-g（x）}

假设效用函数取为指数效用U（x）=e-γx

，其中γ>0为风险厌恶指数。

研究目标是：E[e-γX（t）

]

定理：若Xt如上所给，令k1（a，D）=acγ+（1-a）qcγ-γqXLλρa（D）-λ（E[eγmin{aZi，D}

]-1），k2（A）=γA-A2σ2γ2，μ=EZi

（1）若（1-qp）c

（2）若（1-qp）c>qXLλμ，则策略π*=（a*，D*，A*）是所有策略中最优的，且对应的最大期望效用值为：V（t，x）=-e-η*（T-t）-γx

，其中η*=k1（a*，D*）+k2（A*）。

（3）（1-qp）c=qXLλμ，则存在最优策略当且仅当qXL≤1。

证明：由分部积分求出E[eγmin{aZi，D}

]，从而对D求偏导得：k1（a，D）=γλF1（）（qXL-eγD

）。

求出F1（x）=1-F1（x）的左导数和右导数，很容易得出F1（x）在有跳，因此D*=（lnqXL）+。而且可以得到D*关于γ是递减的，关于qXL是递减的。

若qXL≤1，k1（a，D*）=k1（a，0），是凹的且最大值在a*=处取得。要使a存在就必须满足（1-qp）c

假设qXL>1，F1（x）=f（y）dy+cp，iI

[xp，i，∞）（x），其中xp，i是离散的，i为数学状态，即：对于所有的i存在εi>0使得xp，i?（x

p，i-εi，x

p，i+εi），因此我们得到：k1（a，D）=qpcγ+（1-qp）acγ-γqXLaλμ-aγλ（eγax-qXL）F1（x）dx。

因为eγD*

=qXLk1（a，D*）关于a是可微的，故有：k1（a，D*）=（1-qp）cγ-γλE[eγmin{aZ，D*}

]。

容易看出k1（a，D*）是递减的，因此k1（a，D*）在a处是凹的而且最优策略a*存在当且仅当（1-qp）c

显然k2是凹的，且由k2'（A）=γ（μ-Aσ2γ）=0得A*=，尤其有k2'（0）=γμ>0，故A*存在且有限。（1）得证。

令（x）=-U（x），即问题转化为最小化（x），对应的HJB方程为：

（Vt（t，x）+[μAt+ac+（1-a）cq-qXLλρa（D）]Vx+σ2A2Vxx+

λE{V[x-min（aZ，D）]-V（x）}=0

边界条件为：V（T，x）=e-γx

假设HJB方程的解具有形式：V（t，x）=h3（t）e-γx则求出Vt代入HJB方程得：

+（-k1（a，D）-k2（A））=-k1（a，D）-k2（A）=0

利用边界条件h3（t）=1，上面HJB方程的解为：V（t，x）=

e-η*（T-t）

e-γx。

由It公式得：dV（t，Xt）=V（t，Xt）dZt。其中Zt=hsds-

γσAdWt+（eγmin{aZ，D} -1）。

而h3=-η*-ascP-（1-as）qpcγ-qXLλρa（D）+A2σ2γ2-γμA

策略π*=（A*，a*，D*）的最优性用鞅最优原则可证。（2）得证。

当（1-qp）c=qXLλμ时，k1（a，D*）=λ（E[emin{aZi，D}

]-1）=λ（qXL-

（γeγx-1））F1（）dx。

若qXL≤1，D*=0，那么A*=0是最优的。若qXL≥1，k1（a，D*）在a是递增的；因此不存在有限的最优的A*，但是由单调收敛定理，当A→∞时，k1（a，D*）→λ（qXL-1-eqXL

）。

三、结束语

本文考虑的是保险公司风险过程用几何布朗运动来近似时，期望效用最大限制下保险公司的最优策略，还可以考虑风险过程为跳扩散过程时在其他限制条件下保险公司的最优策略选择问题。