在抽象概括中发展思维能力

赵金惠

一、教材的变化与思考

本单元教学内容与旧教材相比，有较大的调整和变化（如下表）：

从对比可以看出，原实验教材利用5个例题对四则混合运算及其顺序进行整理；而新教材仅用1个例题对四则混合运算顺序进行概括，增加了对加减乘除四则运算的意义及各部分之间关系的梳理总结。

对熟悉旧大纲版四年级下册数学教材的教师而言，这次变化颇有点“回归”的感觉。大纲版四年级下册的“整数和整数四则运算”单元，就专门对四则运算的意义及各部分之间的关系进行了整理。那么，这次“回归”用意何在？与以往的教学有什么不同？

首先，这样的编排，突出了对四则运算意义、关系的整理和概括，减少了混合运算因螺旋编排造成的循环过多、琐碎、教学步子较小、留给学生探索空间不足的问题。

其次，突出了对概念、关系等的抽象概括。实验教材为引导加强理解，改变教学中“死记硬背”的现象，淡化了对概念、法则、规律与关系等过分“形式化”的要求，但实际教学中，却容易导致对概念、法则、规律的抽象概括的忽视，有时甚至出现基本的数量关系也模糊不清的现象。抽象性是数学的基本特征，数学的抽象概括过程对发展人的思维能力，特别是理性思维能力产生着重大影响。抽象概括也是数学建模的重要方式。因此，新教材适当重视了对基本数量关系以及有关内容的抽象与概括。如五上“小数乘法”，在引导学生用自己的语言对概念、规律、法则进行解读的基础上，引导完成文本概括（如图1所示）。本单元内容也是如此，突出对知识的梳理和抽象。

相比大纲版教材，新教材将四则运算的意义和各部分间的关系分成三部分：加、减法的意义和各部分间的关系；乘、除法的意义和各部分间的关系以及0的有关运算；运算律单独编排一个单元。这样编排更具系统性，有利于学生感悟知识之间的内在联系，构建知识框架；同时，相似的编排结构，便于学生借助已有的思维框架和认知经验，进行自主的迁移学习。

需要注意的是，教材突出对概念、关系、规律的抽象概括，目的是优化知识结构的同时，发展学生的思维能力与模型思想，重在过程。教学中要引导学生在解决问题的过程中，感悟联系、发现规律、建立模型。而不能把结果作为重点，忽视过程经历，一味强调得出概念、关系和规律，导致新的“死记硬背”的产生。

二、教学分析与建议

吃透教材，把握学生是有效教学的前提。“加减法的意义和各部分间的关系”的教学也不例外，首先要做好三个把握。

（一）把握教学素材的结构特征

教材例1中的三道现实问题结构相似：内容相同，只是条件和问题不同，因而呈现为一道加法问题和两道减法问题。这种相似的结构，对比鲜明，突出体现了加、减法知识的内在联系，更有利于发现加、减法的意义及减法与加法的逆运算关系，建立完善的知识结构。

（二）把握教材中比较认识的方法

教材还特别突出了引导学生通过比较进行认识的方法。如解决例1中的三个问题后，通过小精灵提示学生思考：“与第（1）题比较，第（2）、（3）题分别是已知什么？求什么？怎样算？”在比较中体会减法的意义，以及与加法之间的关系。

（三）把握学生的学习特点

通过前面三年半的学习，学生对于加、减法以及有关运算已经非常熟悉，有了许多感性的认识。但上升到概念、关系、系统的理性高度，还存在相当的困难。尤其是还不善于站在系统的高度，用联系、关系的视角进行抽象概括。因此加减法之间的关系“减法是加法的逆运算”以及加减法各部分间的关系，是教学中的难点。

但另一方面，四年级学生处在由“直观形象抽象概括的过渡阶段”到“初步本质抽象概括阶段”的过渡期，已经具备初步的抽象概括能力，通过问题引领，重视调动加减运算已有的丰富感性经验，让学生自主进行抽象概括与数学建模，不仅能使学生对知识进行理性的提升，还能促进思维能力、建模意识的发展。

因此教学中，要注意以下几点：

1. 要有整体意识。

一方面要注意教学素材的结构特征，抓住知识间的联系展开教学；另一方面，要注意引导学生建立对知识进行系统整理的意识。课始，教师引导学生：“到现在为止，整数的加减乘除四种运算我们已经学完了。这一单元我们就来整理一下，看一看它们之间有些什么关系？存在哪些规律和秘密？”然后点出学习内容，这样帮助学生转变学习思路，自觉从整体把握知识间关系的角度进行思考与探索。

2. 做足感性积累。

四年级学生的抽象概括需要以丰富的感性经验做支撑。因此在充分利用教材问题情境的同时，注意进行素材的丰富和补充处理。

在此，建议不要在学生解决教材中的三个问题后，就急于引导总结。因为这时学生虽然对于加减法之间的关系和减法的意义已经有了初步的感悟，但还不深刻、鲜明，仅靠这些经验抽象出概念与关系还比较困难。可以借助举例的模式，充分调动学生已有的认知经验参与进来，充分感悟概念、关系的本质特点，为概括提升做好铺垫。

例如，可以根据已有的三道算式，进行引导：“你还能根据这三道算式编类似的问题吗？”让学生交流、分享。编题的过程，其实是学生进一步明确所得感悟，并调动已有经验将这种感悟再次强化、外显的过程。学生编题后的交流分享，又成为新的教学资源，参与对比思考，进一步凸显加减法的意义以及两者的关系。此时再充分放手，让学生用自己的语言说一说加减法的意义，减法与加法的关系，概念的抽象概括就水到渠成。

这种举例积累感性经验、对比概括的方法，也可以在引导学生在抽象概括加减法各部分间的关系时迁移运用。例如，让学生根据出示的一道加法（或减法）算式写出不同的算式，并举出类似的例子，最后进行各部分间关系的抽象概括。

3. 注重过程教学。

需要特别注意的是，本部分知识的学习，得出加减法的概念和有关关系式不是最终目的，而是通过这种概括梳理的过程，使学生完善知识框架，为以后分数、小数加减法的学习打基础，更重要的是在概括提升的过程中，发展学生类比发现、抽象概括的思维能力。因此，不要把重心放在结论上，而要充分放手，让学生以得出结论的过程为平台，自己发现规律，尝试进行概括。在这个过程中，允许语言不规范，结论不到位，这些可以通过教师的引导进行规范，重要的是让学生切切实实地经历自主学习的过程。

（作者单位：山东省寿光市教科研中心）endprint