唐国吉, 汪 星, 夏福全(. 广西民族大学 理学院, 广西 南宁 530006; . 江西财经大学 信息管理学院, 江西 南昌 33003;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 60066)
Hadamard流形上极大单调向量场奇点的Mann迭代算法
唐国吉1, 汪 星2, 夏福全3*
(1. 广西民族大学 理学院, 广西 南宁 530006; 2. 江西财经大学 信息管理学院, 江西 南昌 330013;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)
通过组合邻近点算法和Mann迭代技术,构造了求解Hadamard流形上极大单调向量场奇点的一个新方法,其中邻近点子问题允许非精确的计算.在适当的假设下,证明了新算法产生的序列收敛于极大单调向量场的一个奇点.主要结果推广和改善了近年的一些文献的相关结果.
极大单调向量场; 邻近点算法; Mann迭代; Hadamard流形
单调算子理论是非线性分析的重要组成部分.在单调算子理论中,一个基本的问题是寻找极大单调算子的零点,即找x∈H使得
0∈A(x),
(1)
其中A是Hilbert空间H到其自身的一个极值单调算子.为了方便,把算子A在H中所有的零点作成的集合记为A-1(0).
求解问题(1)的一个常用方法是邻近点算法.对于任意给定的一个初始点x0∈H,邻近点算法按照法则
0∈A(xn+1)+λn(xn+1-xn),
(2)
产生序列{xn},其中λn是一个正的实数列.1976年,R. T. Rockafellar[1]在适当的条件下证明了按法则(2)产生的序列弱收敛于A-1(0)中的一个元.此后,邻近点算法的研究引起了众多学者的关注.他们从不同角度(如不同的空间框架:有限维欧式空间、Hilbert空间、Banach空间、Hadamard流形、Riemann流形等;不同的研究对象:变分不等式、最优化问题、均衡问题等)对邻近点算法展开研究,并取得了丰富的成果.
(3)
C. Li等[2]证明了相应的收敛性结果.
正如C. Li等[2]指出的那样,把适用于欧式空间的一些概念和技巧推广到Riemann流形是一种自然的想法,但这些工作又是不平凡的.近年来,一些学者在Riemann流形(或Hadamard流形)上研究变分包含、变分不等式和优化问题,如文献[2-25].
在线性空间的框架下,受寻找一些映像的不动点的方法的启发,一些学者(如文献[26-29])设计了邻近Halpern型方法和邻近Mann型方法来求解问题(1).这类方法都已经证明了拥有较好的收敛性质.
最近,J. H. Wang等[24]在Hadamard流形上构造了一个邻近Halpern型方法来求解极大单调向量场的奇点.在适当的条件下,他们证明了算法产生的序列收敛于极大单调向量场的离初始点最近(按Riemann度量的意义)的奇点.另一方面,C. Li等[12]在Hadamard流形上构造了2种迭代算法(即Halpern型迭代和Mann型迭代)来求解非扩张映像的不动点.从他们提供的数值例子可以看出,Mann型迭代比Halpern型迭代具有更快的收敛速度.一个自然的问题是:是否能通过组合邻近点算法和Mann型迭代设计一种新的方法来求解极大单调向量场的奇点.这是本文的主要动机之一.
到现在为止,Riemann流形上大多数的邻近点算法(如文献[2,5,7,10,18-19,21])都是精确迭代的版本.然而,因为邻近点算法本质上是隐迭代方法,因此在每个迭代中精确求解子问题的代价是昂贵的.正如E. A. P. Quiroz等[19]所指出的那样,为了计算的可实现性,在流形框架下分析非精确迭代算法的收敛性是重要的.这是本文的另一个主要动机.
受以上文献的启发,在本文中通过组合邻近点算法和Mann型迭代,设计了一个求解Hadamard流形上极大单调向量场的奇点的新方法,其中邻近点子问题允许非精确的计算.在适当的条件下,证明了新方法产生的序列收敛于极大单调向量场的一个奇点.
为了读者方便,在这一节中回顾一下Riemann流形的一些基本定义,性质和记号,这些内容在任何一本Riemann几何的教材(如[30])中都能找到.
一个Riemann流形称为是完备的是指对于每一点x∈M,从x出发的所有测地线对于每一个-∞ 假设M是完备的,在点x的指数映射expx:TxM→M是指对每一个v∈TxM有expxv=γv(1,x),其中γ(·)=γv(·,x)起于点x速度为v的测地线.那么对每一个实数t有expxtv=γv(t,x).对每一个点x∈M,expx在TxM上是可微的. 一个完备的,单连通且具有非正截面曲率的Riemann流形称为Hadamard流形.以下假设M是一个m维Hadamard流形.下面的结果是众所周知的(如参见文献[30]的定理4.1). 命题 1.1 设M是一个Hadamard流形且p∈M,那么expp:TpM→M是一个微分同胚,并且对于任意两点p,q∈M,存在连接p到q的唯一正规测地线. 这个命题说明M微分同胚于欧氏空间Rm.这样,容易看到M与Rm有同样的拓扑和微分结构.此外,Hadamard流形与欧氏空间有一些类似的几何性质.下面的命题取自于文献[30]的命题4.5,它将在本文的研究中起重要的作用.回顾Riemann流形中的测地三角形△(p1p2p3)是指由三点p1,p2和p3,以及连接这3个点的最小测地线组成的集合. α1+α2+α3≤π, (4) (5) 由 d(pi,pi+1)d(pi+1,pi+2)cosαi+1 不等式(5)可写为 d2(pi,pi+1)+d2(pi+1,pi+2)- (6) 一个子集K⊆M称为是凸的,如果K中任意两点p和q,连接p到q的测地线都包含于K,即如果γ:[a,b]→M是一条测地线使得p=γ(a)和q=γ(b),那么对于所有的t∈[0,1]都有γ((1-t)a+tb)∈K. 函数f:M→R称为是凸的,如果对于M上的任意测地线γ,复合函数f∘γ:R→R是凸的,即对任意的a,b∈R和0≤t≤1,有 (f∘γ)(ta+(1-t)b)≤ t(f∘γ)(a)+(1-t)(f∘γ)(b). 下面的命题说明距离函数是凸的. 命题 1.3[30]设d:M×M→R是距离函数,那么d关于乘积Riemann度量是凸函数,即对于任给的测地线γ1:[0,1]→M和γ2:[0,1]→M和所有的t∈[0,1]有如下不等式成立: d(γ1(t),γ2(t))≤ (1-t)d(γ1(0),γ2(0))+td(γ1(1),γ2(1)). 特别地,对每一个p∈M,函数d(·,p):M→R是一个凸函数. 引理 1.1[8]设△(pqr)是M上的一个测地三角形,那么存在p′,q′,r′∈R2使得 d(p,q)=‖p′-q′‖,d(q,r)=‖q′-r′‖, d(r,p)=‖r′-p′‖. 引理 1.2[12]设△(pqr)是M中的测地三角形,△(p′q′r′)是其比较三角形. 1) 设α,β,γ(分别地,α′,β′,γ′)是△(pqr)(分别地,△(p′q′r′))在顶点p,q,r(分别地,p′,q′,r′)的三个角,那么 α′≥α,β′≥β,γ′≥γ. 2) 任意给定连接p到q的测地线上的点z,z′是线段[p′,q′]上满足d(z,p)=‖z′-p′‖和d(z,q)=‖z′-q′‖的点(称为z的比较点),那么有不等式 d(z,r)≤‖z′-r′‖. 把所有满足定义域D(A)是闭凸集的集值向量场A:M→2TM(即对每个x∈M有A(x)⊆TxM)记为X(M),其中A的定义域D(A)是 D(A)={x∈M:A(x)≠Ø}. 定义 1.1 设A∈X(M)是一个向量场,那么称A是: (i) 单调的,如果对于任意的x,y∈D(A), ∀u∈A(x), ∀v∈A(y); (ii) 强单调的,如果存在ρ>0使得对于任意的x,y∈D(A), ∀u∈A(x), ∀v∈A(y); (iii) 极大单调的,如果它是单调的且对于任意的x∈D(A)和u∈TxM有如下蕴含关系成立: ∀y∈D(A), v∈A(y)⟹u∈A(x). Hadamard流形上向量场的Kuratowski半连续性概念由C.Li等[2]引入. 定义 1.2 设A∈X(M),x0∈D(A).A称为: (b) 在M上是Kuratowski上半连续的,如果对于每一个点x0∈D(A),A在点x0是Kuratowski上半连续的. 由文献[2]中定理3.7可知: 注 1.1 如果A极大单调且D(A)=M,那么A是Kuratowski上半连续的. 现在正式给出的算法.令δ∈(0,1). 算法 2.1 初始化:设x0∈M任意取定. 迭代过程:对于给定的xn∈M,选取参数λn>0和元素yn∈M使得 (7) 选取误差εn≥0和元素zn∈M使得 d(zn,yn)≤εn. (8) 选取αn∈[0,1-δ]并通过下式定义xn+1, (9) 或等价地, xn+1=γn(1-αn), (10) 其中γn:[0,1]→M是连接xn到zn的测地线(即γn(0)=xn和γn(1)=zn). 注 2.1 注意到算法2.1中的(7)式是一个隐迭代.这样一个基本的问题是说明这个步骤是可定义的.事实上,对每个n,定义Bn∈X(M)如下: ∀x∈D(A), 那么当A∈X(M)是单调时,每个Bn是强单调的.完全类似于文献[2]中的注4.4,知道如果A是极大单调向量场且D(A)=M,那么(7)式是可定义的,从而算法2.1是良定的. 注 2.2 (i) 如果M=Rn,那么算法2.1退化为文献[29]中的算法5.2当Hilbert空间是有限维的情形.因此,算法2.1可看成文献[29]中的算法5.2从线性空间到Hadamard流形的推广. (ii) 如果εn=0且αn=0,那么算法2.1退化为Hadamard流形上的精确邻近点算法(参见文献[2]中(4.3)式). (iii) 与文献[24]中的算法MP作比较,在迭代过程中,邻近子问题(7)式和相应的误差容忍(8)式是一样的.不同之处在于(9)式是Mann型迭代过程,而文献[24]中的对应部分是Hapern型迭代,即 (iv) 与C. Li等[12]提出的Hadamard流形上非扩张映像不动点的Mann迭代算法相比较,其关于松弛因子αn的条件与本文算法2.1的不一样.文献[12]中{αn}要求满足 ∞. (11) 容易看到的条件比上述条件要弱.比如取αn=1/n2时,(11)式就不成立了.由于条件(11)在Mann型迭代方法的收敛性证明中发挥关键作用,因此在Mann型迭代方法中考虑如何减弱松弛因子的限制条件是重要的.因此为了去掉条件(11),在收敛性分析中采用了与文献[12]中完全不一样的技巧. 接着,给出算法2.1的收敛性结果. 定理 2.1 设{xn}是由算法2.1产生的序列.假设 (12) 那么{xn}收敛于A-1(0)中的一个点. 证明 把证明过程分几步完成. 第1步:证明序列{xn}是有界的. (13) 考虑测地三角形△(xnynz).由命题1.2可得 d2(yn,z)+d2(yn,xn)- 结合(13)式可得 d2(yn,z)+d2(yn,xn)≤d2(xn,z). (14) 这样,容易看出 d(yn,z)≤d(xn,z). (15) 由命题1.3可得 d(xn+1,z)=d(γn(1-αn),z)≤ αnd(γn(0),z)+(1-αn)d(γn(1),z)≤ αnd(xn,z)+(1-αn)d(zn,z). (16) d(zn,z)≤d(yn,z)+d(yn,zn)≤ d(xn,z)+εn. (17) d(xn+1,z)≤ αnd(xn,z)+(1-αn)d(xn,z)+(1-αn)εn≤ d(xn,z)+εn. (18) 第2步:证明 (19) 事实上,由距离的三角不等式和(8)~(9)式可得 d(xn+1,yn)≤d(xn+1,zn)+d(zn,yn)≤ αnd(xn,zn)+εn. (20) 应用引理1.2的2)可得 αnd2(xn,z)+(1-αn)d2(zn,z)- αn(1-αn)d2(xn,zn). (21) 由(15)式和(8)式可得 d2(zn,z)≤[d(yn,z)+d(yn,zn)]2≤ [d(xn,z)+εn]2≤ d2(xn,z)+εnC, (22) d2(xn+1,z)≤d2(xn,z)+(1-αn)εnA- αn(1-αn)d2(xn,zn). 结合条件αn∈[0,1-δ]可得到 δαn2d2(xn,zn)≤αn(1-αn)d2(xn,zn)≤ d2(xn,z)-d2(xn+1,z)+εnA. 第3步:证明{xn}的每一个聚点属于A-1(0). (24) 由(7)式可知,对每一个k,有unk-1∈A(ynk-1).由于A是极大单调的,根据注1.1可知A是Kuratowski上半连续的.再结合(24)式可得0∈A-1(0). 由命题1.2可得 (25) (26) 注 2.3 定理2.1从以下方面推广和改善了一些新近的结果. (i) 如果M=Rn,那么定理2.1退化为文献[29]的定理5.2中当Hilbert空间是有限维的情形. (ii) 如果算法2.1中εn=0且αn=0,那么定理2.1退化为Li等人的主要结果(参见文献[2]的推论4.8). [1] Rockafellar R T. Monotone operators and the proximal point algorithm[J]. SIAM J Control Optim,1976,14:877-898. [2] Li C, López C, Martin-Mrquez V. Monotone vector fields and the proximal point algorithm on Hadamard manifolds[J]. J London Math Soc,2009,79:663-683. [3] Agarwal R P, Ahmad I, Iqbal A, et al. Generalized invex sets and preinvex functions on Riemannian manifolds[J]. Taiwan J Math,2012,16:1719-1732. [5] Bento G C, Ferreira O P, Oliveira P R. Local convergence of the proximal point method for a special class of nonconvex functions on Hadamard manifolds[J]. Nonlinear Anal,2010,73:564-572. [6] Bento G C, Melo J G. Subgradient method for convex feasibility on Riemannian manifolds[J]. J Optim Theory Appl,2012,152:773-785. 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Under suitable assumptions, we prove the sequence generated by the proposed method converges to a singularity of maximal monotone vector fields on Hadamard manifolds. The main results presented in this paper generalize and improve some corresponding known results given in literatures. maximal monotone vector field; proximal point algorithm; Mann iteration; Hadamard manifold 2015-01-16 国家自然科学基金(11426119)、教育部重点项目(212147)、广西自然科学基金(2013GXNSFBA019015)、广西教育厅科研重点项目(ZD2014045)和广西高校优秀中青年骨干教师培养工程(桂教人2014-39) O221.2 A 1001-8395(2015)06-0818-06 10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.005 *通信作者简介:夏福全(1973—),男,教授,主要从事变分不等式与最优化理论的研究,E-mail:fuquanxia@sina.com2 Mann迭代算法
(1.CollegeofScience,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006,Guangxi;2.CollegeofInformationAdministration,JiangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanchang330013,Jiangxi;3.InstituteofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)