用函数与方程的思想方法解题

张志仁

【摘 要】函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而是问题获得解决。方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的，则可以把解析式看作一个方程，通过方程的讨论从而使问题得到解决，从某种意义上讲，方程的研究和讨论是函数研究的必不可少的手段。

【关键词】方程的思想方法；函数

一、什么是函数与方程的思想方法

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画。因此函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系，与这种思想相联系的就是方程思想.在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把他们当成已知数，根据题设本身各量间的制约关系，列出方程，求得未知数，所设的未知数沟通了变量之间的关系，将问题转化。

二、如何用函数的思想方法解题

用函数的思想方法解题，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

1.引入变量，确定函数关系

在解答有关不等式、方程及最值等问题时，利用函数观点加以分析，常可使问题变得清晰，从而使问题得以解决。

例1：如图（甲），已知PA⊥平面ABC AD⊥BC，垂足D在BC的延长线上，且BC=CD=DA=1，记PD=x，∠BPC=θ，求tanθ的最大值。

解：可将tanθ表示为x的函数，然后求该函数的最大值。

∵PA⊥平面ABC，∴AD是PD在平面ABC内的射影，又∵AD⊥BC，即BD⊥AD， ∴BD⊥PD（三垂线定理），转化为平面问题（如图乙）。

在Rt?PDB和Rt?PDC中，θ=∠BPD-∠CPD

∵，

∴

∴当且仅当时，等号成立。

2.选取主元，揭示函数关系

如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

例2：设不等式对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。

解：因为受定势思维的影响，往往把此题看成关于x的不等式进行分讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记，则问题转化为求关于m的一次函数（或常数函数）的值在区间[-2，2]内恒为负时应满足的条件。

由题意知应满足组：，

即

解得：.

例3：若|a|?1，|b|?1，|c|?1，求证：ab+bc+ac>-1.

解：考虑到所证不等式即是a（b+c）+bc+1>0，将a看自变量，且|a|?1，可把问题转化为证明当|x|?1时，一次函数f（x）=（b+c）x+bc+1>0的问题。

∵ f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）

f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）

且|b|?1，|c|?1

∴

∴f（x）=（b+c）x+bc+1在|x|?1时恒大于零.故得所证。

3.认识函数思想的实质，强化应用意识

函数是用以描述客观世界中变量的依存关系的数学概念，其实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决。

例4：某商店将每件进价为180元的西服按每件280元销售时，每天只卖出10件.若每件售价降低m元，当m=20时，其日销售量就增加15件，而0

解：建立函数模型.设每件售价降低20x元（x为整数）则总利润为：

y=（280-20x-180）（10+15x）

即：y=100（5-x）（2+3x），（x∈Z）

由y=0时，得，所以抛物线顶点横坐标时，y最大，但x∈Z，故当x=2或x=3时，y最大.所以每天的售价应定为280-2×2=240（元），或280-2×3=220（元）.但定为280-2×2=240（元）较安全。

4.善于利用函数的性质解决问题

例5：f（x）是定义在R上的函数，且满足如下两个条件：

（1）对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）；

（2）当x>0时，f（x）<0，且f（1）=-2

求函数y=f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。

解：本题所给函数没有解析式，属抽象函数，解决此类问题往往要通过研究函数的性质，特别是函数的奇偶性、单调性，才能加以解决分三步：

（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=x，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0

∴f（x）為奇函数.

（2）任取，则

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）

因为，所以，由条件知， 所以f（x）在定义域R上是单调递减函数。

（3）f（x）在[-3，3]上单调递减，所以有f（3）≤f（x）≤f（-3），而f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6.

所以f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6。

三、如何用方程的思想方法解题

用方程的思想方法解题，就是从问题的数量关分析入手运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题获解。

1.待定系数法

待定系数法的实质就是方程思想.它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式，即得到方程。

2.利用根与系数的关系或根的判别式构造方程

如果题设条件中具备或经变形整理后具备，的形式，则可以利用根与系数的关系；具备，的形式，可利用根的判别式，构造一元二次方程。

从以上不难看到，函数与方程的思想在解题中有着广泛的应用，同时方程与函数是互相联系的。在一定条件下，它们可以互相转化，例如，解方程f（x）=0就是求函数f（x）的零点，解不等式f（x）>g（x）就是当两个函数的函数值大小确定后，求自变量的取值范围，函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学基础。利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程（隐函数）等内容，在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静，变量与函数如此生动的辨证统一。这种对立统一的关系，能使我们进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力。