探求“鱼渔欲”三位一体的数学教学

黄红梅　唐剑岚

摘 要 “鱼渔欲”三位一体优化数学教学意指教学在“授人以鱼”的同时“授人以渔”和“授人以欲”。“授人以欲”即激发学习欲望，促进学生愿学和乐学。以“变化率问题”为案例，探讨“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的策略。

关键词 鱼渔欲 优化 数学教学 变化率问题

古人云：“授人以鱼，不如授之以渔”。陶行知先生也曾指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”。但目前现实中很多数学课堂普遍存在“授人以鱼”，少见“授之以渔”和“授之以欲”。“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略，是改善这种状况的一个可行途径。“鱼渔欲”三位一体的数学教学指数学教学不仅要授人以“鱼”，更要“授人以渔”和“授人以欲”。其中“鱼”指基础知识与基本技能，“渔”指有效的学习方法和良好的学习习惯，“欲”指积极的情感、良好的态度、求知的兴趣和欲望。如何践行“鱼渔欲”三位一体的数学教学，促使学生学会、会学与乐学？下面以某中学周老师的“变化率问题”教学片断为案例来说明。

一、教学片断及评析

1.建立模型

周老师首先呈现问题情境——某地某年3月份的气温记载（如下图），接着要求学生与同桌讨论以下两个问题：

问题1：根据图像，如何用自己的语言描述两个时间段内的气温变化趋势的异同？

问题2：如何用符号语言刻画这种变化趋势？

然后，在综合学生结果的基础上，引导学生从生活经验的“陡坡”以及学习经验的“斜率”两方面，对气温变化快慢进行理解。引导学生从以下变式问题中抽象出模型。

问题3：若把气温C看作时间t的函数，即C=f（t），则t1至t2这段时间内气温的变化率如何表示？

问题4：若函数关系为y=f（x），那么当x从x1增加x2到时，其变化率又如何表示？

最后，周老师要求学生先独立思考后小组交流讨论，小组代表展示与分享成果。学生通过类比、计算、分析与归纳，最终得出了平均变化率概念。

评析：多次观摩“变化率问题”课堂，发现很多教师引入情境后，往往直接告诉学生变化快慢问题即是变化率问题，接着介绍变化率的求法，这种“掐头去尾烧中段”的处理，会让学生觉得变化率是枯燥乏味的“鱼”，难以收获捕获“变化率”这类“鱼”的方法，激发“捕鱼”的欲望。

周老师在这里有了新的尝试。一般而言，新知的教学起点源于旧知的逻辑生长点和学生原有的经验生长点。周老师将变化率（旧知生长点）和学生对身边气温变化趋势的体验（经验生长点）融入问题情境中，引出变化率，让学生直观感知这条“新鱼”源于身边的“老鱼”，自然地导出了新知识学习的必要性。一方面，激活了学生原有的生活经验与认知经验，为新知识学习奠基；另一方面，让学生感受数学与生活实际的联系，一定程度上能增强学生学习数学知识的信念。

在建立变化率模型时，周老师主要通过循序渐进的问题链引导学生思考。一方面，驱动学生经历观察、计算、比较、类比、归纳等数学学习的基本活动，体会变化率的来龙去脉，体验学习与研究变化率的抽象和模型思想，养成学生先独立思考后小组交流讨论的良好习惯。另一方面，问题链的循序渐进，易于回答，让学生收获成就，生成求知欲望。

2.解释模型

首先，周老师通过以下几个问题引导学生分析认识平均变化率：

问题5：平均变化率概念有什么结构特征？

问题6：请用自己的话描述变化率，并举出生活中变化率的例子。

问题7：画出图像并思考变化率的几何意义。

评析：解释模型是学习新内容的重要环节，主要意图是理解新的数学知识与技能[1]。在此阶段，大部分教师只是轻描淡写，一带而过，学生往往只是被动的聆听与记忆，或从具体事例中抽象出变化率后，就直接进入应用阶段，这种缺乏学生积极参与和以训练代替理解的教学，容易导致学生理解肤浅，难以内化模型，更难以培养学生良好的数学学习方法与习惯，激发学生数学学习兴趣。

周老师在此环节却用心良苦，以精心设置的问题链引导学生多角度认识变化率模型。一方面，通过引导学生观察、分析平均变化率的结构特征，探索平均变化率的外延、变式，使学生深刻理解模型的本质属性，养成学生细心严谨的学习习惯；另一方面，突出数学多元表征教学，即引导学生把概念转化与转译成自然语言、符号语言、图形语言三种表征，这能促使学生深度理解与掌握模型[2]。总体来看，整个解释模型过程不但凸显了变化率模型的形成与分析，加深了模型的理解，让“鱼”有滋有味；并且渗透了“捕鱼”的方法，譬如归纳、抽象、数形结合、多元表征的转换与转译等等。整个过程以问题引领，激发了学生理解模型的欲望，并在自主建构中，感受到了学习乐趣。

3.应用模型

在应用模型阶段，周老师首先呈现例题：某位跳水运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系：h（t）=-4.9t2+6.5t+10，请完成以下任务：

任务（1） 物理学中的平均速度跟我们今天学习的平均变化率有什么联系？

任务（2） 计算该运动员在以下时间段里的平均速度：①[1，2] ②[t1，t2] ③[2，2+△t]

接着，先要求学生利用模型自主求解，并从中总结出求解的步骤，然后组织各小组进行成果展示，并按学生自评、组间互评、师评的顺序对成果进行评价。

评析：对于新知的应用，一部分教师倾向于题海战术，往往为解题而解题，缺乏变通，且忽视学生的自我总结和评价反思。周老师的处理却让人眼前一亮。首先，将跳水训练与新知联系起来，使学生理解平均速度是平均变化率在物理学中的一个应用，体验到数学广泛的工具性，有利于培养学生的数学应用意识和数学情感。其次，任务（2）中的变式由易到难，由具体到抽象，符合学生的认知规律，这样的变式可达到让学生举一反三、触类旁通的目的，有利于学生从中总结解题步骤或规律，形成解题技能，达到了“捕鱼”效果。再次，周老师采用了自评、生评、师评等多元评价方式，既让学生在自评中反思自己的解题过程，也让其他学生有机会直面同学与教师的解题方法，并从中批判取舍，进一步挖掘或拓展问题。这种多元评价一方面可以促使学生灵活掌握知识，另一方面又可以促进学生观察、批判、反思与总结，锻炼批判与反思能力，激发学生学习情感，提高学生学习积极性。

4.小结反思

在小结阶段，周老师主要引导学生从知识、方法、困惑三方面谈谈体会，先学生反思总结，后老师系统整理。

评析：在课堂小结环节，多数教师往往只粗略对知识方面进行总结，有的甚至干脆把这个环节省略掉。其实，如果说导入要做“凤头”，结束则要做“豹尾”，课堂小结对知识与技能的强化与系统、学习方法的归纳与总结，具有不可替代的作用。

周老师对课堂小结“大做文章”，要求学生从知识、方法、困惑三方面进行自主反思总结。新知识的总结，可以促使学生进一步把新知纳入已有认知结构，从而建构良好的知识结构网络。数学思想方法的反思，一方面，能促使学生强化新知识与思想方法的关系，从而使新知识“有骨有肉”，达到深刻理解、灵活运用；另一方面，有利于加深学生对数学思想方法的认识与体验，实现迁移效应，达到掌握“捕鱼”的方法。学习困惑的反思，有利于学生认识自己的学习状态和效果，为进一步改善和提高做好准备。总体来看，整个课堂小结是在学生自主反思回顾基础上展开的，有助于提高学生的元认知水平。如果这样的小结成为常态，将能促使学生养成反思的习惯，从而达到高层次的“鱼渔欲”三位一体教学效果。

二、策略思考

“鱼渔欲”三位一体教学理念，要求教师在传授知识与技能的同时，渗透数学思想方法、培养良好数学学习习惯、激发数学学习情感，最终达到学会、会学、乐学的目的。为了更好地进行“鱼渔欲”三位一体教学，以下三点值得我们思考。

“鱼”的美味：课堂中给学生吃的“鱼”，应是优质的“鱼”，它应源于课本、高于课本、回归课标。整个课堂应坚持以教材为主源、重点为主题，围绕基本知识和技能展开，凸显“鱼”的重要地位。譬如，案例中的周老师通过问题链导思，建模、释模和用模等活动单导航，让学生体验知识的形成、发生与发展过程；通过数学多元表征教学加深学生对概念的理解；通过层次递进的习题和变式训练促进学生对知识和技能的巩固掌握，达到“学会”目标。

“渔”的渗透：教学中，数学思想方法为“主线”，学法为“主轴”，整个课堂注重数学思想方法的渗透以及良好学习习惯的培养。譬如，周老师通过情境导入，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，体验知识的形成过程，掌握研究问题的基本方法；通过问题设置，引导学生独立思考、交流合作、批判分析、大胆猜想、小心论证、反思总结、一题多变、一题多用，以此培养学生良好的数学学习方法与习惯，改善学生的学习方式信念，达到“会学”目标。

“欲”的激发：首先，积极的学习情感是有效学习数学的主要“动力”，也是影响学生数学认知信念的重要因素。教学中可通过背景人物介绍、故事导入、情境创设、问题驱动等，激发学生探索科学、勇攀高峰的精神。其次，教学应遵循以人为本、尊重与赏识、公平与公正等原则，将情感与态度目标有机渗透到教学中，以此构建轻松民主的课堂，营造和谐的教与学氛围。再次，采用分组讨论、启发引导等方式，引导学生自主发现问题、分析问题、解决问题，从中发现学习乐趣、体验成功喜悦，从而塑造学生稳定的数学学习能力。譬如周老师的问题链导思、活动单导航、层进变式、多元评价促学等方法，让学生体验成就感和乐趣，激发学生求知欲望，促进学生“乐学”。

参考文献

[1] 周莹，唐剑岚.将探究融入教学活动中——一节数学课的探究过程及评析[J].中学数学教学参考，2007（4）.

[2] 唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.

【责任编辑 郭振玲】