非形式化：一种提高数学教学有效性的途径

张云

摘要：形式化是现代数学的特征之一，但目前数学教学中存在着过度形式化的问题，往往将丰富多彩的数学思想淹没在形式化的海洋中。适度“非形式化”是要在数学教学中力求“来自生活”，用质朴反映数学的本源。同时，数学教学过程要教会学生在“数学思考”中优化思维，重视学生在发现中诠释数学的实质，从而在非形式化教学中提高数学教学的有效性。

关键词：非形式化;数学教学;生活;数学思考

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）10A-0069-03

英国大哲学家、数学家A·N·怀特在他的教育代表作《教育目的》中指出：“在古代学校里，哲学家们渴望传授的是智慧，而现代学校，我们降低了目标，教授的是学科。从神圣的智慧沦落到教材知识，标志了多少世纪以来教育上的失败。”反思我们的数学教学现状，学生在数学学习的过程中，不断地被概念和法则所束缚，逐渐丧失了独立思考和想象的能力，这是应当引起警惕的。抽象是数学的特性，然而，一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的学生吓跑之外，并没有给数学带来多少好处。要知道，“理性”和“思维”一旦远离了它实践的源泉成了“无源之水”，太多“抽象”的近亲繁殖，就会使数学学科处于退化的危险之中。目前，正在逐渐深入的课程改革，要求在学生数学入门阶段，减少纯数学语言，给予他们更多形象化的东西，“数学教学活动必须建立在学生已有的知识经验基础之上”。数学课程标准在这些基本理念的观照下，我们的数学教学正在返璞归真。

一、来自生活，用质朴反映数学的本源

有过这样的小事情：一个小孩子在吃饭的时候发筷子，先把筷子在桌上顿一顿，然后选出同样长短的一双筷子发出。这在小孩是一个平常的发现或者平常的做法，但在他的作为数学老师的祖父看来，却大有深意。于是，他在教两条线段长短比较的时候，举了孙子顿筷子的例子，在教通分的时候，又举了这个例子。在他看来，这样顿一顿就把原来筷子两头的矛盾面转化为一个矛盾面，它反映了一种思想方法。在不同分子，不同分母的分数大小比较问题上，只要像把筷子的一头顿齐一样，然后，要比较的只有分子了，问题就简化了。对生活中事件的感悟，可以形成观察事物的观点，数学的学习同样如此。

解决一个数学问题，首先不是逻辑，而是对这个问题的某种感悟。

分数的意义教学片断：

教师：当我们看到一个分数的时候，我们可以将下方的数字看成“可能是什么，”上方的数字看成“是什么”。那么，请同学们解释一下，当一杯橙汁中维生素C的含量是我们每天对维生素C需求量1/2的时候，它指的是什么意思？（板书1/2）

（学生有些茫然）

教师：我们可以用什么词来描述上方的数字？

学生：一杯橙汁“可能是什么”。

教师：下方的数字呢？

学生：我们每天的需求量“是什么”。

教师：那么，请同学们考虑一个与自身有关的例子。

学生：上一节课我们进行了“英译汉”比赛，一节课总共40分钟，我用20分钟就完成了试卷。

教师：那么，你用怎样的数来表示这个时间？

学生：用20表示“是什么”，40表示“可能是什么”，上方的数字是下方的一半。哦，我明白了，上面这个1/2的意思是，一杯橙汁可以提供人一天维生素C需求量的一半。

教师：好的，下面我们进行下一个内容。

数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型。上述案例，教师通过追随可让学生回忆起来的心理步骤，让学生对数学知识进行感悟，而不是就分数的概念讲分数的意义。数学的思考是怎样产生的？学生在做一道题的时候，他的思维是怎样的？数学家迪厄多内说：“富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对所研究的对象有活生生的构想和深刻的了解。”这些构想与了解结合起来，就是所谓的直觉或感悟。事实上，学生可能的数学现实空间比我们想象的大得多，问题是我们没有使学生对所学的数学知识进行感悟。回顾一下我们自己的教学过程，我们在教学分数大小比较的时候，可曾让学生在“顿一顿筷子”这样质朴的事件里去领悟通分的必要性;我们在教学分数的意义时，又是否利用学生独特的生活经历来建构他们自己的回答，从而总结出一个过程，以便在类似情境中独立地使用。也许我们忘了从这样最质朴的感悟开始，去为学生提供一根木桩，使学生能够把自己提升至高一级的阶梯之上。

感悟所强调的，是体验、融合、自得，它不是知识的分割和堆积，是对记忆的升华。什么叫“两个相关联的量？”只要钓过鱼就知道，浮标沉浮的状态反映着鱼吃不吃饵的状态——非常生动的相关联现象;把食物放在小狗前面不远处，小狗箭也似地飞奔过去，跑的决然是一条直线——两点之间，线段最短。义务教育数学课程标准指出：要把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。西方数学教育界也提出“非形式化的数学教学”。这些都在提醒我们的数学教学要摆脱过度形式化的束缚，联系学生的日常生活实际，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。

我们所强调的感悟，正是要把深刻的数学原理附着在生活中浅显的事例上。

二、数学思维，用发现诠释数学的实质

德波诺曾经有过这样一个说法：当我们驱车从A地到B地的时候，常常是因为车速过快，而始终忽视了路旁还有一个C点，C点那里还有一条很好的路，由A到B的路越顺畅，忽视C点的可能性就越大。就小学数学教学的现状分析，课堂教学设计和进行教学的一般程序，首先是设定教学目标，其中最具体的是学科知识的认识性目标，浅者要求达到讲清知识，深者要求达到发展能力;其次是设计教学过程，其中除了设计课堂教学的程序之外，重点是按教材逻辑，分解设计一系列问题及练习。课堂上，教师常常为完成教案，无论是问题还是练习，都在培养学生的条列式思维，而不是培养辐射式思维，总在尽可能努力引导学生达到预定文案。沿用德波诺所说，我们总竭力想使学生从A到B走得顺畅，而不注意路旁的C。

数学的学习，优化思维应放在第一位，掌握概念或建立法则应放在第二位，训练同优化思维相比，层次要低得多。

二十以内的加法课堂教学片断：

教师：（出示口算）1+9=？ 2+8=？ 3+7=？  4+6=？ 5+5=？

（学生口答）

教师：（出示7+5=？）这一道题我们怎么计算呢？

学生A：我把7分解为5和2，5+5=10，10+2=12。

教师：很好。请小朋友积极开动脑筋，看还有没有其它算法，也能“凑十”以后算出结果。

学生B：我把5分解为3和2，7+3=10，10+2=12。

教师：真聪明。（发现还有学生举手）

学生C：我把7分解为4和3，把5分解为3和2，3+3=6，4+2=6，而最后6+6=12。（这位学生回答后长吁了一口气。）

教师：哦，太复杂了，不过是对的。

课程改革强调数学学习活动应当是生动活泼、主动的和富有个性的过程，基于理念的转变和更新，许多教师也鼓励学生在解决数学问题时使用不同的策略（案例中“还有没有其它算法”）。但很多情况下，我们的教学一直是以我们成人认为的最优方法为目标进行的，即使让学生自己寻找结果，也总在使用暗示使之放松“感悟”（案例中“也能凑十”）这不禁让笔者想起了“霍布森选择效应”，他在贩马时把马匹放出来让顾客挑选，可条件是只允许挑选最靠门边的那匹马。你希望学生选择多种算法，而又限定其“凑十”，学生岂不同样陷入霍布森选择效应的困境？

反思我们的教学，就以上案例所呈现的教学内容，我们的教学一直在为“凑十”作准备，于是，教学进程便线性地“循序渐进”。这样做看似分散难点，学生容易学习，但如果我们仅仅规定“凑十”，就会抹杀掉很多独有的东西。因为我们限定了“凑十”，学生做了几个尝试后，就不用思考了，完全可以依样画葫芦。然而，学生的回答，哪怕时有错误，总蕴藏着他的合理性，学生完全有可能有一种特定的情况，如案例中的学生C，他会对6+6情有独钟！我们不能总想着让学生一学就会，一蹴而就，不想有什么地方为难学生，二十以内的加法就“凑十”，那么，等“凑十”凑完了，数学所蕴涵的乐趣也就消退得无影无踪了。其实，学生在创造了自己的方法和认识了众多相应方法之后，会高屋建瓴地认识凑十法，在适合的时候自觉地运用凑十法。我们当然也排斥在算法上低水平的重复，只是强调珍视学生独特的感悟，毕竟凑十也罢，不凑十也罢，对于未来的计算都会变成历史陈迹，但学生在渴望中的寻找会成为他们永远的财富。因此，我们应该把重点放在揭示数学知识的本质上（案例中的内容就是分与合方法），在从A往B的路上，不断思考路旁的C点，而不仅局限于“凑十”这样的“单打一”。

数学教育家陈仲穆先生早就提出了“淡化形式，注重实质”的主张。确实，局限于类似“凑十”这样违背学生天性的做法，一旦强化为学生的“第二天性”，那么，学生形成了“路径依赖”，就无益于学生数学学习时“基模”的扩展。我们要防止这种“浮滑”的教学，而把学生在探求知识路上的数学思考当作学习数学新的“基础”。

“学习数学唯一正确的方法是实行再创造，也就是由学生本人把学习的东西自己去发现和创造出来。”荷兰著名数学家弗赖登塔尔所强调的，正是要求我们教师帮助学生进行这种再创造，而不是把现成的东西灌输给学生。综观国际数学课程改革，许多国家和地区的数学课程目标都在强调养成主动地从自己的经验中建构和理解数学的概念。实践中，我们尝试着在非形式化教学中提高数学教学的有效性，正是要求学生在头脑中对数学问题进行重新建构，它其实就是创新。巴赫的音乐充斥着数学的对称，埃及的金字塔也凝聚着“黄金分割”，当我们的学生在足球比赛时运动员的下底传中认识了角，在“山上有座庙”的故事里明白了数的循环……那么，他们必将会在滴水成河的情景中领略到贝克莱悖论的“无穷”，也会在“理发师不给自己理发”的事实里欣赏到罗素悖论的奥秘。当我们把数学教学与学生的生活紧密联系起来，不断地在教学中促进学生的感悟，培养学生一双能用数学观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑，那么，数学课堂教学必将成为“沟通教育理想此岸和学生发展彼岸的具有转换功能的桥梁”！

责任编辑：石萍