恒定磁场中镜像法叠加结果的矛盾分析

朱 峰，成 晟

(西南交通大学电气工程学院，四川成都 610031)

“电磁场”是电气工程专业一门重要的基础课。镜像法的解具有解析形式，可以给人以直观的分析结果，所以无论是在静电场还是在恒定磁场，该方法都具有重要的地位［1－3］。如图1(a)所示，长直导线带电流为I，空间分界面两侧的的磁导率不同，分别为μ1、μ2，分界面上必然存在磁化电流，但由于磁化电流面密度不能直接给出，一般教科书通过等效的方式将磁化电流的贡献看作镜像电流的贡献。如求解上半空间中的磁场，可考虑该场都充满导磁媒质μ1，场是由线电流I和镜像电流I'共同产生的，如图1(b)所示。同样，对于下半空间的磁场，则可考虑其充满导磁媒质μ2，其中的场由镜像电流I″所产生，如图1(c)所示。

图1 不同导磁材料中磁场计算的等效原理图

通用教材中，在图1条件下I'和I″由唯一性定理和边界条件容易得出［1－2］:

但是，根据对称原理和镜像法叠加原理，所得的下半空间等效电流I″应该为原传导电流I和磁化电流I'的叠加，如下所示:

很明显，式(1)与式(2)的I″不等，于是产生了一个矛盾。

1 问题的分析

本文从该问题的物理本质入手，剖析媒质中线电流产生磁场的实际物理过程。

当无限长线电流I处于磁导率为μ的空间时，在线电流I的周围一定会产生一些磁化电流;现假设该空间任一点磁化强度为，磁场强度为，任取一块面积S，其周界为l，I穿过S一次，则穿过S面的总磁化电流为Im

所以无限长线的实际电流为原I与I周围所有磁化电流Im之和:

由上式我们可以得出一个一般性结论:在磁导率为μ的导磁媒质中，考虑了磁化电流的附加作用后，可以在真空中的传导电流上乘以系数μ/μ0来得到在磁导率为μ的导磁媒质中的等效电流。

回到本文的问题中。此时，上半空间的磁场如图2(a)所示;对于上半空间的点，可考虑整个场都充满导磁媒质μ1，由式(4)的结论可得

对于下半空间中的点，由于对称性，利用镜像法和叠加原理以及式(4)的一般性结论，磁场应由上半空间的IM和叠加产生，如图2(b)所示。

在前面的分析推导中，我们得到的都是等效为真空下μ0的结果。而在本问题中，分析下半空间的磁场时，空间的媒质的磁导率为μ2，因此需要将真空中的I″

图2 线电流在不同导磁材料中磁场的物理本质原理图

M转化为媒质磁导率为μ2时的电流，利用式(4)的一般性结论可得

可见式(7)与式(1)的结果是一致的，为了严谨与充分，我们再验证一下，同理可得

同样的，式(8)与教科书上的结果也是一样的。至此，本文从媒质中线电流产生磁场的物理本质角度上完成了镜像法叠加结果和教科书结果的统一。其实，之前镜像法之所以和教科书上的结果不一样，是因为我们没有将线电流回归到最基本的真空中，而本文从这一物理底层进行分析，严谨地解释了这一矛盾的成因。

3 结语

镜像法是“电磁场”教学的一个重点和难点。特别的，镜像法既能应用在静电场中，也能应用在恒定磁场中。本文通过对恒定磁场中线电流磁场问题的镜像法叠加结果和教科书结果的矛盾分析，从物理本质上较为深入地证明了两种解法最终结果的一致性。这一分析可以帮助学生深入了解电磁场的本质物理意义，以及提高学生利用类比思想解决问题的能力［4］。

［1］冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M］.北京:高等教育出版社，2000

［2］雷银照.电磁场［M］.北京:高等教育出版社，2008

［3］郭硕鸿.电动力学(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2008

［4］朱峰，魏天彩.静电场中导体镜像与介质镜像的统一［J］.南京:电气电子教学学报，34(1)，2012