一类向量似变分不等式问题

张 娟，薛建明

(昆明理工大学津桥学院工学系，云南昆明650106)

近些年，凸的概念已经从很多角度得到了推广和延伸［1-3］。Karamardian等于1990年证明了函数的广义凸与它们的梯度函数的单调性是等价的，并指出广义单调在变分不等式问题中的作用与目标函数的广义凸性在数学规划中的作用是相同的。

Ali Farajzadeh等［4］在可度量化的拓扑向量空间中建立了向量似变分不等式问题与向量优化问题之间的等价性，但其中所涉及的函数都是伪-invex的。YANG X M等［5］在空间Rn中给出了函数的广义凸与它们的梯度函数的广义单调之间的一系列关系。

文中在可度量化的拓扑向量空间中给出了Univexity，伪 -univexity及拟 -univexity等一类比invex函数更广的函数的概念，并在伪-univexity的假设下得到了类似文献［4］中的结果。

1 预备知识

设X是一可度量化的拓扑向量空间。记X上的度量为d，其中d满足条件:d(x+z，y+z)=d(x，y)，d(tx，0)=td(x，0)，∀x，y，z∈ X，t ＞ 0。

定义 1［4］称函数 f:X→ R在 x∈ X附近是M－Lipschitz，若存在一常数 M ＞ 0，使得

|f(y)－ f(z)|≤ Md(y，z)，

其中，y，z为x的某一邻域的任意点。称函数f:X→R在X上是局部Lipschitz的，若它在X的每一点附近都是Lipschitz的。

定义2［4］如果函数 f:X→ R在 x∈ X附近是Lipschitz的，则函数f在x∈X沿着方向v∈X的Clarke广义导数定义如下:

定义3［4］函数f:X→R在x∈X的Clarke广义梯度定义如下:

∂f(x)={ξ∈ X*:〈ξ，v〉≤ f°(x;v)，∀v∈ X}。因此，对∀v∈X

f°(x;v)=max{〈ξ，v〉:ξ∈ ∂f(x)}。这些定义和性质可以被推广到局部Lipschitz的向量值函数f:X→Rp。记fi(i=1，…，p)为f的分量，则f在x∈X点的Clarke广义梯度是集合

∂f(x)=∂f1(x)× ∂f2(x)× … × ∂fp(x)。

下面给出文献［5－8］中Univexity以及单调性的推广。

定义4 设X0是X的一非空子集。称X0在u关于η:X0×X0→X是invex的，若对任意x∈X及λ∈［0，1］，有 u+ λη(x，u)∈ X0。

称X0关于η:X0×X0→X是invex的，若X0在每一点都是invex的。

定义5 称非光滑函数f:X0⊂X→R

1)关于η，φ及k是univex的，若存在函数η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≥〈ξ，η(y，x)〉，∀x，y ∈ X0，∀ξ∈ ∂f(x);

2)关于η，φ及k是严格univex的，若存在函数η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］ ＞ 〈ξ，η(y，x)〉，∀x，y ∈ X0，x ≠ y，∀ξ∈ ∂f(x);

3)关于η，φ及k是 (严格)伪－univex的，若存在函数η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］(≤)＜ 0⇒〈ξ，η(y，x)〉＜ 0，∀x，y∈ X0，∀ξ∈ ∂f(x);

4)关于η，φ及k是拟-univex的，若存在函数η:X0×X0→X，φ:R→R及k:X0×X0→R+，使得

k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≤ 0⇒〈ξ，η(y，x)〉≤ 0，∀x，y∈ X0，∀ξ∈ ∂f(x);

5)关于η，φ及k是强伪-univex的，若存在函数η:X0×X0→X，φ:R→R，k:X0×X0→R+及常数α ＞0，使得

〈ξ，η(y，x)〉≥0⇒k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］≥α‖η(y，x)‖，∀x，y∈ X0，∀ξ∈ ∂f(x)。

例1［8］Univex函数是比invex函数更广的一类函数，如:

设 f(y)=y3，∀y∈ R，φ(a)=3a，∀a ∈ R，

则f是 univex的，但不是 invex的［4］。这是因为对y= － 3，x=1，f(y)－ f(x)＜ ▽f(x)η(y，x)。

例2［8］伪－Univex函数是比Univex函数更广的一类函数，如:

则f是伪－univex的，但不是univex的。这是因为对

▽f(x)η(y，x)＞ k(y，x)φ［f(y)－ f(x)］。

条件A［7］设η:X0× X0→X，则对∀x，y∈X0及 λ ∈［0，1］，

η(y，y+ λη(x，y))= － λη(x，y)，η(x，y+ λη(x，y))=(1 － λ)η(x，y)。

显然，由条件A知，有

η(y+ λη(x，y)，y)= λη(x，y)。

定义6 设X0是X中关于η:X0×X0→X的invex集。称集值映射F:X0→2X0在X0上关于η是(严格)伪 －invex单调的，若

〈F(x)，η(y，x)〉≥0⇒〈F(y)，η(y，x)〉(＞)≥0，

∀x，y ∈ X0，x ≠ y。

定义7 设X0是X中关于η:X0×X0→X的invex集。称集值映射 F:X0→2X0在 X0上关于 η是拟-invex单调的，若

〈F(x)，η(y，x)〉＞ 0⇒〈F(y)，η(y，x)〉≥0，∀x，y ∈ X0，x ≠ y。

定义8 设X0是X中关于η:X0×X0→X的invex集。称集值映射F:X0→2X0在X0上关于η是强伪－invex单调的，若存在一常数β＞0，使得

〈F(x)，η(y，x)〉≥ 0⇒〈F(y)，η(y，x)〉≥β‖η(y，x)‖，∀x，y ∈ X0，x ≠ y。

2 非光滑univex函数的刻画

将文献［9］中得到的结果推广至可度量化的拓扑向量空间中的非光滑的情形。假设X0是X中的非空invex集。定理1 假设

1)X0是X中关于η的开invex集;

2)η满足条件A;

4)集值映射 ∂f在 X0上关于 η，φ 及 k是伪－invex单调的，

则f在X0上关于η，φ及k是伪-univex的。证 设 x，y∈ X0，x≠ y使得

下证 k(x，y)φ［f(x)－ f(y)］≥0。

假设上述不等式不成立，即

因为∂f在X0上关于η是伪－invex单调的，由式(4)得，对某一∈(0，1)，有

这与式(1)矛盾。因此，f在 X0上关于 η，φ及是伪-univex的。定理2 假设

1)X0是X中关于η的开invex集;

2)η满足条件A;

4)集值映射∂f在X0上关于η，φ及k是严格伪-invex单调的，则f在X0上关于η，φ及k是严格伪 －univex 的。

证 结合严格伪－univex的定义及条件1)～4)，按照定理1的方法即可证得定理2成立。

定理3 假设

1)X0是X中关于η的开invex集;

2)η满足条件A;

4)集值映射 ∂f在 X0上关于 η，φ 及 k是拟-invex单调的，则 f在 X0上关于 η，φ及 k是拟 －univex 的。

证 假设f在X0上关于η，φ及k不是拟－univex的，则存在 x，y ∈ X0，使得

但

由条件A，有

因为集值映射∂f在X0上关于η，φ及k是拟－invex单调的，由(10)，有

这与式(7)矛盾。因此，f在 X0上关于η，φ及k是拟 －univex 的。定理4 假设

1)X0是X中关于η的开invex集;

2)η满足条件A;

4)集值映射 ∂f在 X0上关于 η，φ 及 k是强伪-invex单调的，则 f在 X0上关于 η，φ及k是强伪-univex的。

证 设 x，y∈ X0，使得

由条件A及假设1)，有

由集值映射∂f在X0上关于η，φ及k是强伪－invex单调的，存在常数β＞0，使得

再由假设3)及k(x，y)＞0，有

因此，f在X0上关于η，φ及k是强伪－univex的。

3 向量似变分不等式与向量优化问题的关系

考虑如下向量优化问题:

(NVOP)Minimize f(x)=(f1(x)，…，fp(x))Subject to x∈X0，

其中fi:X0→R，i=1，…，p为非光滑局部Lipshcitz函数。

同时，考虑下面的似变分不等式问题:(GVVLIP)非光滑向量似变分不等式问题就是找到一个点y∈X0，且对∀ξ∈∂f(y)，不存在x∈X0，使得〈ξ，η(x，y)〉≤0。(GWVVLIP)非光滑弱向量似变分不等式问题就是找到一个点 y∈ X0，且对 ∀ξ∈ ∂f(y)，不存在x∈X0，使得〈ξ，η(x，y)〉＜ 0。

在非光滑univextiy的假设下，文中将推广文献［4］中的结果。定理5 假设

1)X0是X中的非空invex集;

2)f在X0上关于η，φ及k是非光滑univex的;

3)φ(a)≤0，当且仅当a≤0;

由式(12)及假设3)，有

k(y，x)φ［fi(y)－fi()］≤0，i=1，…，p。又f关于η，φ及k是非光滑univex的，因此存在y∈X0，使得

定理6 假设

1)X0是X中的非空invex集;

2)－f在X0上关于η，φ及k是严格-univex的;

3)φ(a)＜0，当且仅当a＜0;

由 －f在X0上关于η，φ及k是严格－univex的，有

又由式12)有

这与假设(4)矛盾。

由于(NVOP)的每一个有效解都是其弱有效解，因此由定理6有如下结论:推论1 假设

1)X0是X中的非空invex集;

2)－f在X0上关于η，φ及k是严格－univex的;

3)φ(a)＜0，当且仅当a＜0;

1)X0是X中的非空invex集;

反之，若

3)f在X0上关于η，φ及k，是严格伪－univex的;

4)φ(a)≤0，当且仅当a≤0;

因此，不存在y∈X0，使得

再由假设4)，有

又f=(f1，…，fp)在 X0上关于 η，φ 及 k是严格伪－univex的，因此存在y∈X0，使得

定理8 假设

1)X0是X中的非空invex集;

2)f在 X0上关于 η，φ及 k是非光滑严格伪 －univex 的;

3)φ(a)≤0，当且仅当a≤0;

定理9 假设

则所有的临界点都是有效解，当且仅当f在X0上是严格伪－univex的。

因此，

又由式(13)，有

即不存在y∈X0，使得

因此，

再由式(13)知，不存在y∈X0，使得

因此，f在X0上是严格伪－univex的。推论2 假设

1)X0是X中的非空invex集。

2)f在X0上关于η，φ及k是严格伪－univex的;

3)φ(a)＜0，当且仅当a ＜0;φ(a)≥0，当且仅当a≥0。

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