基于执行器饱和双轮平衡车的容错控制

关 威，梁 鹏，高瀚斐

(沈阳航空航天大学 自动化学院，沈阳 110136)



基于执行器饱和双轮平衡车的容错控制

关 威，梁 鹏，高瀚斐

(沈阳航空航天大学 自动化学院，沈阳 110136)

双轮小车的平衡与稳定受到执行器饱和问题的困扰。将小车的稳定问题转化成一个标准的控制问题，对小车建立非线性数学模型，并研究在状态反馈条件下自适应容错控制器的设计问题。利用线性矩阵不等式的方法进行处理，给出固定增益和自适应控制算法的设计方法。利用MATLAB对系统进行仿真并分析最终结果，得出一种能够使系统更加稳定的算法。

双轮小车；执行器饱和；线性矩阵不等式；自适应控制

双轮平衡车是一种不稳定的系统，具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，必须施加一些有效的控制方法才能使其保持自身的稳定[1]。在实际的生产生活中，执行器饱和与执行器故障都是极为普遍的现象，并且大部分系统在运行过程中都伴随着这两种现象的发生[2]。本文针对控制系统在执行器饱和现象下的容错控制问题，探究饱和现象在正常状态与故障状态下的控制算法，将执行器饱和对执行器故障的影响降到最小。

1 数学模型的建立

1.1 参数设定

由于双轮平衡小车实际建模过程存在一定的困难，可以忽略掉一些次要的因素，将车轮和车身分别进行分析处理，综合两部分得出的方程，建立小车的非线性方程，对其进行线性化处理，最终可以求出系统的状态空间方程[3]。

设θw为车轮的转动角度，假定逆时针为正，H1、H2分别表示的是左右车轮与车体之间水平方向的作用力；Hf1、Hf2分别是左右车轮与地面之间的作用力；P1、P2是左右两个车轮与车体之间在垂直方向上的作用力；C1、C2是左右车轮的转矩；x是车轮的水平位移；Mw、MP是车轮与车体的质量；R是车轮半径；θp为车体摆角；l为车体长度；Iw、Ip分别是车轮与车体的转动惯量[4]。

1.2 线性化模型的建立

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，分别对车子的左右两轮进行受力分析，其中车轮的受力分析和车身的受力分析如图1、图2所示：

图1 左轮受力分析图

图2 车身受力分析图

一般情况下，双轮平衡小车在运行过程中正负角度较小，一般都在7°以内[5]，可以进行线性化处理。

(1)

当小车做直线运动时：C1=C2，因此系统状态方程可以化简为：

(2)

2 控制算法设计

2.1 结构设计

双轮小车系统在有执行器故障及执行器饱和下的状态方程[6]如式(3)所示：

(3)

其中，u(t)表示在故障模式下的执行器故障信号，ρ为未知常数，当ρ=0时，说明该执行器处于正常状态。本实验考虑的是小车执行器在正常工作和在执行器部分失效的状态下的情况，不包括小车执行器完全失效的情况[7]。

通过设计小车控制器结构，使闭环系统不仅在正常状态下可以保持稳定，并且在故障状态下也可以同样保持稳定[8]。

控制器的结构重新设计后如式(4)所示:

(4)

(5)

2.2 控制算法设计

根据定理，可以把问题转化为如何从得到的无数个满足不变集条件的集合中挑选出一个“最大”吸引域的问题[12]。因此，只需要尽可能地增大区域ε(P,1)就可以估计出系统的“最大”吸引区域[13]。

从满足定理条件的椭球中选择一个使得参数γR(ε*(P,δ))的数值达到最大，若XR为椭球，最优化问题如式(6)所示：

(6)

(7)

若当Yaj=0,Ybj=0,Oaj=0,Obj=0,j∈I[1,m]时，定理中的自适应控制设计，将变成固定增益控制器设计的设计方案。

2.3 参数计算及仿真

系统的模型参数如下：

车体质量Mp=1 kg，车轮质量Mw=0.2 kg

车体长度l=0.25 m，车轮半径R=0.04 m

车体的转动惯量Ip=0.0078kgm2，车轮的转动惯量Iw=0.0005kgm2

系统状态方程式(2)中各个参数如下：

执行器存在两种模式：正常模式和故障模式。正常模式下ρ=0；故障模式下，假设ρ=0.4是执行器的最大失效率。

在固定增益控制器的设计方法中，代表吸引域大小的指标L′=1.494 1，而通过自适应控制器的设计方法，可得L=0.538 4。显然对于优化问题(7)的优化指标L的值更小。

以上两种不同方法下闭环系统的状态轨迹[15]，当初始值为x(0)=(6 -0.2 2 -12)时，图3与图4为闭环系统在正常模式下的状态轨线。图5与图6是初始值为x(0)=(0.2 -3 2.5 -15)时闭环系统在故障模式下的状态轨线。

图3 正常状态下，系统在固定增益控制器作用下x(3)、x(4)的状态响应轨线

图4 正常状态下，系统在自适应增益控制器作用下x(3)、x(4)的状态响应轨线

图5 故障状态下，系统在固定增益控制器作用下x(3)、x(4)的状态响应轨线

图6 故障状态下，系统在自适应增益控制器作用下x(3)、x(4)的状态响应轨线

3 结论

图3与图4分别显示了正常状态中，在固定增益控制器与自适应增益控制器的作用下系统的部分状态响应轨线，可以看出，在相同的初始条件下，自适应增益控制器能够使系统最终达到稳定状态。图5与图6中分别显示了故障状态中，在不同控制器的作用下系统的状态响应轨线，同样可以看出，在相同的初始条件下，自适应增益控制器能够使系统最终趋向稳定状态。

本文在考虑有执行器故障与饱和的情况下，对比固定增益与自适应控制两种算法的优越性，通过以上仿真结果可以看出，在状态反馈条件下，自适应控制器具有更大的吸引域来控制系统,使其保持稳定。

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(责任编辑：刘划 英文审校：刘敬钰)

Fault-tolerant control of the two-wheel self-balanced trolley based on actuator saturation

GUAN Wei，LIANG Peng，GAO Han-fei

(College of Automation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

The balance and stability of the two-wheeled trolley are plagued by the problem of actuator saturation.To establish its nonlinear mathematical model,the stability of the trolley can be transformed into a standard control,and the design of self-adaptive fault-tolerant controllers will be studied under the state feedback condition,which will be dealt with by using the LMI to work out a design method about fixed gain control algorithm and self-adaptive control algorithm.The analysis of the final result by using the MATLAB simulation can come up with an algorithm which may make the system more stable.

Two-wheel trolley;actuator saturation;LMI;adaptive control

2015-01-16

国家自然科学基金青年基金(项目编号:61203087)；辽宁省优秀人才培养计划第二层次(项目编号:LJQ2013017)；沈阳航空航天大学博士启动项目(项目编号:11YB18)

关威(1980-)，男，辽宁沈阳人，副教授，主要研究方向：受限系统、容错控制、非线性系统，E-mail：guanweihaha@163.com。

2095-1248(2015)04-0067-04

TP273

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.04.011