热声载荷下复合材料薄壁结构的随机疲劳寿命估算

冯飞飞，沙云东，张国治，朱 林

(沈阳航空航天大学 辽宁省航空推进系统先进测试技术重点实验室，沈阳 110136)



热声载荷下复合材料薄壁结构的随机疲劳寿命估算

冯飞飞，沙云东，张国治，朱 林

(沈阳航空航天大学 辽宁省航空推进系统先进测试技术重点实验室，沈阳 110136)

复合材料薄壁结构承受着高温强噪声载荷,高温环境能够改变材料的性能，而强噪声能使薄壁结构发生大挠度非线性响应。热声载荷达到一定值后，结构的动态响应会出现屈曲甚至跳变响应。热声载荷下复合材料薄壁板非线性响应理论分析方法，采用时域蒙特卡洛法求解非线性运动方程，并根据应力峰值分布，采用线性损伤累积理论和S-N曲线估算结构的疲劳寿命。以碳/碳复合材料矩形板为例，计算了高温强噪声载荷作用下对薄壁板的动态响应和疲劳寿命。

复合材料；非线性响应；热声载荷；疲劳寿命

高超声速飞行器在飞行过程中要承受气动载荷、热载荷、噪声载荷和机械载荷。而进入大气层的航天器热防护系统表面要承受高达2 000 ℃左右的高温，局部的噪声声压级超过180 dB[1-2]，因此航天器对材料的要求越来越苛刻。碳/碳复合材料具有比重轻、热膨胀系数小、抗腐蚀、抗热冲击等优异性能， 能够满足现代飞行器发展的需求。强噪声载荷引起复合材料薄壁结构出现大幅值非线性响应，高温环境使得结构出现屈曲甚至跳变现象，在不同屈曲后平衡位置之间做跳变运动[3-4]。本文采用数值方法分析热声载荷下复合材料薄壁结构的动态响应疲劳寿命。

Przekop研究了在强噪声载荷下薄壁结构的疲劳寿命[5]。Holehouse采用线性理论和累积损伤理论分析了噪声载荷下薄壁板的响应和疲劳寿命[6-7]。在噪声载荷下结构的运动方程求解方法有等价线性化法和蒙特卡洛法。用有限单元法和迦辽金法求解耦合非线性模态方程，而有限元方法的计算成本大，在模态坐标中蒙特卡洛法可以降阶非线性方程[8-10]。本文以四边简支碳/碳板为研究对象，施加有限带宽高斯白噪声，计算不同热声载荷下结构的非线性响应和疲劳寿命，根据蒙特卡罗法求解非线性运动方程，采用线性损伤累积理论和S-N曲线估算结构的疲劳寿命。

1 热声环境下复合材料的动态响应

1.1 运动方程的建立

复合材料板的运动方程为[11]：

(1)

位移函数w表示的应变协调方程：

(2)

公式(1)与(2)结合即为复合材料板的运动控制方程。

应力函数表达式：

(3)

四边简支板的边界条件：

(4)

位移函数u和v的表达式：

(5)

根据板的模态求解板的横向位移函数：

(6)

式中,Amn表示模态幅值，φmn表示固有模型响应，在四边简支的条件下：

φmn(x,y)=Xm(x)Yn(y)

(7)

式中,式(6)代入方程(2)中，得到：

(8)

应力函数F包括通解Fh和特解Fp，将公式(5)和(6)代入公式(8)中，得到特解Fp

(9)

其中,

通解Fh可表示为：

(10)

C1,C2,C3是板的边界条件的积分常数，根据公式(4)和(5)，结合Airy应力函数F，求解板的横向位移，积分常数可表示为：

通过Galerkin法求解方程(1)，结合公式(6)得到非线性偏微分方程：

(11)

公式中ωij表示板的固有频率，广义质量和随机应力表示为：

(12)

(13)

非线性刚度系数Ziqdfmkrl表示为：

(14)

其中,

Fiqdfmkrl(G,H)={2GHdf[β(itd,G)+β(i-d),G][β(q+f,H)+β(q-f,H)]-

随机压力载荷均匀地分布在板的表面压力载荷可表示为：

(15)

其中,φp表示随机压力的功率谱密度，φr表示在0到2π之间均匀分布的随机角度值，Δω表示频率间隔。在随机压力载荷下计算出板的位移、应力时间历程，通过蒙特卡洛法计算位移响应，得出位移的平均值和均方根值：

(16)

(17)

T0表示时间周期，应力-位移函数关系可表示为：

(18a)

(18b)

(18c)

Z表示距离板的中面的厚度。

2 累积损伤理论分析

在热声载荷下分析结构的随机应力响应，根据随机应力幅值的累积损伤原理和断裂力学估算结构的疲劳寿命。早期的疲劳分析方法是Palmgren-Miner,累积损伤理论公式是[12]：

(19)

ni表示给定应力值后的实际循环数，Ni表示在相同应力值下发生疲劳损坏的总循环数，因此当D=1时，材料发生疲劳损伤。在高温强噪声载荷下，计算出来的应力响应是非线性的，应力幅值不服从高斯分布。针对非高斯分布的疲劳寿命估算，首先求出非线性应力幅值的平均应力和均方根值，通过试验和经验公式计算，应力-循环数的关系可表示为：

Sλ=B/N

(20)

S表示常幅值载荷的应力值，N表示在某一应力下材料发生损伤的应力循环数，λ和B是材料常数。因为数据庞大，材料常数由随机振动变量产生的损伤模型得出，然而在目前，这些材料常数可由确定的数值表示，因此结合公式(19)、(20)得出：

(21)

随机压力载荷下的应力响应是一组随机量，根据随机应力采用的Palmgren-Miner理论也必须扩大其范围，用应力循环数n(Si)表示在应力峰值Si下的数目。在连续应力S(t)下的单位时间的随机累积损伤表示为：

(22)

E[MT]表示单位时间内正应力峰值数目的期望值，p(s,t)表示应力峰值的概率密度函数，限定时间在(0,τ)范围内。由公式(22)计算总的损伤累积值，若响应过程是稳态的，E[MT]即为常值，公式可写为：

(23)

E[MT]表示在时间(0,τ)内应力峰值数目总的期望值，疲劳寿命时间为T，对于稳态的应力响应疲劳寿命可根据下面公式进行计算：

(24)

E[MT]和p(S)都是通过非线性应力响应的时间历程计算得出。

3 应用实例

选取碳/碳复合材料板为例，边界条件为四边简支，铺层角度方式是(45/0/0/45)，结构尺寸为a=300 mm，b=300 mm，h=0.5 mm，弹性模量E1=170 GPa，E2=11 GPa，剪切模量G13=G12=5 GPa,G23=2.74 GPa,泊松比μ=0.31，密度ρ=1 430 kg/m3，热膨胀系数a1=8.5×10-5℃,a2=7.95×10-5℃,S-N曲线中材料参数B=1.37×1029,λ=9.98施加有限带宽高斯白噪声,在不同的高温环境下计算出结构的动态响应。热屈曲系数(S)=实际温度(T)/临界屈曲温度(Tc)。根据传统的有限带宽高斯白噪声在截止频率处截止，而功率谱密度可以表示为：

(25)

图1 板的中心位置在相同温度不同声压级下的横向位移响应

根据图1所示，在没有温度影响下，随着声压级的增加，板面的位移响应越来越大，出现大挠度非线性响应，板面的振动幅值增加对结构的影响更严重。在相同声压级不同温度下板面发生的横向位移响应如图2所示。高温环境下对材料的性能影响是显著的，不仅影响材料的性能，甚至在高温环境下，使结构出现屈曲现象，在屈曲后板面发生跳变响应，在两个平衡位置之间来回振动。随着温度的增加，跳变现象发生变化，严重影响结构的性能和可靠性。相同声压级不同温度下板面的最大应力响应，如图3所示。

图2 板的中心位置在相同声压级不同温度下的横向位移响应

图3 板的中心位置在相同声压级不同温度下的应力响应

在噪声载荷下得出的应力时间历程，服从高斯分布。针对服从高斯分布的载荷，可以采用等价线性化方法、有限单元方法和Monte Carlo方法准确的计算结构的运动方程。但是在热声载荷下结构发生跳变现象后，均不服从高斯分布，在两个平衡位置之间来回跳变，则结构内部应力应变变化极为迅速。而目前的有限单元法和等价线性化方法不能准确地分析结构的跳变运动和大挠度非线性随机运动方程，从而影响结构的疲劳分析。因此对于不服从高斯分布的载荷，在估算结构疲劳寿命方面的准确性很低。随着温度越来越高，受到压缩热应力作用的结构，其刚度下降，应力循环的幅值也在减小，并且板的响应在两个平衡位置之间发生跳变振动，内部应力发生快速复杂变化，应力幅值迅速增大，对结构的疲劳寿命影响最严重。根据计算出来的应力时间历程，得出应力有效值(RMS)，结合累计损伤理论，估算出结构的疲劳寿命。

图4 热声载荷下薄壁板的疲劳寿命估算结果

计算了在屈曲前S=0.6和热屈曲后S=2.4时，不同声压级下结构的疲劳寿命，在声压级较低时，温度起主要作用，屈曲系数S=2.4的疲劳寿命比屈曲前的寿命要长，而随着声压级的增加，温度的作用减小，噪声载荷起主要作用，两者的疲劳寿命曲线趋势和大小大致相同。碳/碳复合材料在高温环境下，强度不仅不降低反而增强，而且碳/碳复合材料也是唯一能在高温1 600 ℃～2 000 ℃正常工作的材料，其疲劳寿命与金属不同，具有很大分散性。

4 结论

(1)在屈曲前，随着声压级的增大，结构的振动响应也越来越大，出现大挠度非线性响应。在屈曲后，不仅使得结构出现跳变现象，在两个平衡位置之间振动，结构内部的应力发生快速变化，而且高温环境下影响材料的性能。

(2)在热声载荷下， 复合材料薄壁结构的非线性响应对疲劳寿命的影响是显著的。在屈曲前，温度越高，热应力越大，寿命则越低；跳变振动对结构的疲劳寿命最严重，应力幅值增大，很容易造成结构的疲劳损伤。

(3)在温度逐渐升高的过程中，结构的稳定性不发生变化，达到临界屈曲温度后，结构发生屈曲。随着温度增加，板甚至出现跳变现象，结构在两个平衡位置之间来回跳变，频率比较频繁。随着温度继续增加，薄壁结构跳变出现间歇性，最后由两个平衡位置转变为一个平衡位置，并且围绕着这个位置产生随机振动。

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(责任编辑：宋丽萍 英文审校：刘敬钰)

Random fatigue life estimation of composite thin-walled structures under thermo-acoustic loadings

FENG Fei-fei，SHA Yun-dong，ZHANG Guo-zhi，ZHU Lin

(Liaoning Key Laboratory of Advanced for Aeronautical Propulsion Test Technology,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Composite thin-wall structures are subject to high acoustic and severe thermal loadings.The high thermal environments can change properties of material,and the high acoustic loading can make thin-walled structures exhibit large deformation nonlinear response.Under certain thermo-acoustic loading conditions,a dynamic instability will give rise to buckling and even snap-through responses.A theoretical study on nonlinear response of composite panels under thermal-acoustic loadings is conducted.The nonlinear equation of motion is solved numerically by a Monte Carlo type approach.Based on the distribution of stress peaks,S-N curves are combined by means of linear damage accumulation theory to estimate fatigue life of structures.The dynamic response and fatigue life of carbon-carbon rectangular plate are calculated under thermal-acoustic loadings.

composite;nonlinear response;thermo-acoustic loadings;fatigue life

2013-10-28

冯飞飞(1987-)，男，河南焦作人，硕士研究生，主要研究方向：航空发动机强度、振动及噪声; E-mail:499759479@qq.com；沙云东(1966-)，男，黑龙江阿城人，教授，主要研究方向：航空发动机强度、振动及噪声，E-mail:ydsha2003@vip.sina.com。

2095-1248(2015)04-0024-06

V215.5

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.04.005