最值问题在三角函数中应用研究

李扬

摘 要：由于中学数学最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各数学学科之中，且与生产实际联系密切，同时它又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。因此，最值问题历来是各类考试的热点，其中三角函数的最值问题是函数最值和几何最值的重要组成部分，本文浅析三角函数中最值问题的应用，让学生以及读者对最值问题在代数及几何问题中的解决方法有个总体的认识，并为学生以后的学习打下基础。

关键词：最值问题；三角函数；解法总结；系统分析

一、三角函数最值问题的题型归纳及解法策略

在现阶段中学数学三角函数最值问题中，题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下6种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1.y=asinx+bcosx型的函数

这样的函数是我们经常遇到的，对于这样的题型处理思想应该引入辅助角，化为y=sin（x+），利用函数即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类，下面介绍一道实例来体会感受其中的方法。

例1 已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

（3）若当x∈[，]时，f（x）的反函数为f-1（x），求f--1（1）的值.

从上面这道例题可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方

法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

这样的函数题型看上去很长，也很复杂，但是其中有一定的规律，通过下面这样一个实例，你会发现它其中的玄机。处理方式是降幂，再化为“Asin（）”的形式来解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函数

在三角函数的题型中，这题型是比较常见的，经常和其它函数一起应用，特别是出现在“存在”问题中，对于这类题型的处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。下面通过一道例题来体会这方法。

例3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a-在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

分析：

这道题就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，只是其自变量变为cosx。值得注意的是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。在题目条件没有给你限制条件时，任何一种那个情况都应该作分类讨论，当然要结合已有的法则和三角函数相关的公式，及三角函数隐藏的条件，这样才能做到解题全面。

综合上述知，存在符合题设。

4. y=型的函数

这是一个分数形式的求三角函数最值的题型，往往出现在需要转化思想的综合题目中，下面介绍这个例题，让同学有直观感觉。

例4求函数y=的最大值和最小值。

对于这一类题型，分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。

5.y=sinxcos2x型的函数

这样的三角函数题型有一定的难度，并且有的题目角和函数很难统一，还会出现次数太高的问题，这是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中数学中涉及三次函数的最值问题，几乎都用均值不等式来求解。但需要注意是否符合应用的条件及等号是否能取得。下面介绍一个实例来体会均值不等式的方法。

例5 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式

在这样混合的函数式中，也是经常会遇到的，对于含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t，，将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。通过下面这个例题了解这样的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函数y=cos（sinx）的值域

结合如图1 所示：y=cos（sinx）的图像，知cos1=cos（-1）<1，cos0=1

例8 如图2：ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。

解：如图2，连结AP，设，延长RP交AB于M，

则，，故矩形PQCR的面积

设，

，故当时，

当时，

例9 如图3所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时，

（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；

（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米。

解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）

（2）令，则

Fig 2-4 Example 9 here

二、对三角函数最值问题的小结

1.求三角函数最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

（2）化同角函数法（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

（3）数形结合法（常用到直线的斜率关系）；

（4）换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之类的情如运用均值不等式等）；

（6）降幂法（主要利用三角函数的基本公式和定义）。

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设所给出的区间：

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

（3）在涉及到综合实际生产并运用基本不等式法解最值问题时，需要注意所得结果是否符合实际情况及等号是否取得到。

3.如“表1求解三角函数最值的常用方法”是个人对以上题型及解法的总结。

表1 求解三角函数最值的常用方法

参考文献：

[1]赵钰林.素质教育新教案数学[M].北京：西苑出版社，2004.

[2]曹晓春.三角函数的最值问题[N].数学学习与研究，2007（10）.

[3]薛金星.中学教材全解[M]，陕西：陕西人民教育出版社，2006-10.

[4]程旭升.三角函数最值问题的几种常见类型实例讲稿[R].广东：广东省东莞市清溪中学，2003.