高考中方程思想的应用

邓超群

函数是变化的，方程就是静止的.函数描述了两个变量的相对关系，方程是函数在变化过程中的特例.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决，动中求静，研究运动中的等量关系.

函数与方程是数学王国里一对漂亮的姐妹花.高中数学教材可以用六个字概括：函数（指数、对数、三角、反三角函数、数列），方程（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线方程），其他（不等式、概率、平面向量及空间向量）.这对漂亮的姐妹花分开便是一枝独秀，各领风骚；携手又如锦上添花，相得益彰.

例如在数学中，有些表达式既可看作函数又可看作方程，例如：2x+y-3=0既可看作一次函数，又可看作二元一次方程；但有些却又不行，例如：x2+y2=4只可看作方程.笔者结合自己的教学实践及教学心得，分四个部分介绍方程的思想在高中数学应用.

一、高中阶段常见的列方程（组）、解方程（组）的策略：

二、三种构造方程常见的形式：

三、与方程的根的有关问题：

1.利用根的存在性定理确定根的个数

例题③（2004广东）设函数f（x）=x-In（x+m），其中常数m为整数.⑴当m为何值时f（x）≥0，

⑵试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f（x）=0，在[e-m-m，e2m-m]内有两个实根.

2.方程问题函数化

四要素考虑：（1）二次函数开口方向；（2）判别式△的正负；（3）对称轴的位置；（4）短点函数值的正负.

例题⑤已知集合A=x|x2+（m+2）x+1=0，x∈R且A∩x|x>0=空集，则实数m的取值范围是

思路：由题意得：x2+（m+2）x+1=0有两个正根，即△≥0且x1>0且x2>0

由于函数、方程二者几乎不分家，在处理具体问题时二者也是形影相随，紧密结合.但要想达到灵活应用的境界，必须先弄清楚他们各自的特点及性质，做题时才能对症下药，既准又好.以上是笔者凭着多年来的教学经验的积累和对高考深入研究基础上，对于方程的思想在高中数学解题中应用的一个系统的积累，希望能与大家共享！